Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmppw 24822
 Description: The value of the divisor function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sgmppw ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem sgmppw
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 15312 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 simp3 1061 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64, 5nnexpcld 12970 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
7 sgmval 24768 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴))
81, 6, 7syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴))
9 oveq1 6611 . . 3 (𝑛 = (𝑃𝑘) → (𝑛𝑐𝐴) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
10 fzfid 12712 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) ∈ Fin)
11 eqid 2621 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))
1211dvdsppwf1o 24812 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)})
132, 5, 12syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)})
14 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑖 = 𝑘 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑘))
15 ovex 6632 . . . . 5 (𝑃𝑘) ∈ V
1614, 11, 15fvmpt 6239 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
1716adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
18 elrabi 3342 . . . . 5 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} → 𝑛 ∈ ℕ)
1918nncnd 10980 . . . 4 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} → 𝑛 ∈ ℂ)
20 cxpcl 24320 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℂ)
2119, 1, 20syl2anr 495 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)}) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℂ)
229, 10, 13, 17, 21fsumf1o 14387 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
23 elfznn0 12374 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2423adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 11297 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
261adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2725, 26mulcomd 10005 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑘))
2827oveq2d 6620 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃𝑐(𝐴 · 𝑘)))
294adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nnrpd 11814 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3124nn0red 11296 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3230, 31, 26cxpmuld 24380 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃𝑐𝑘)↑𝑐𝐴))
3329nncnd 10980 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℂ)
34 cxpexp 24314 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑐𝑘) = (𝑃𝑘))
3533, 24, 34syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐𝑘) = (𝑃𝑘))
3635oveq1d 6619 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃𝑐𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
3732, 36eqtrd 2655 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
3833, 26, 24cxpmul2d 24355 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝐴 · 𝑘)) = ((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
3928, 37, 383eqtr3d 2663 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
4039sumeq2dv 14367 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
418, 22, 403eqtrd 2659 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  –1-1-onto→wf1o 5846  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880   · cmul 9885  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ...cfz 12268  ↑cexp 12800  Σcsu 14350   ∥ cdvds 14907  ℙcprime 15309  ↑𝑐ccxp 24206   σ csgm 24722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-cxp 24208  df-sgm 24728 This theorem is referenced by:  1sgmprm  24824  1sgm2ppw  24825
 Copyright terms: Public domain W3C validator