Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgn0bi 30402
Description: Zero signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgn0bi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sgn0bi
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2625 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 0 = 0))
32bibi1d 333 . 2 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4 eqeq1 2625 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 1 = 0))
54bibi1d 333 . 2 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
6 eqeq1 2625 . . 3 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ -1 = 0))
76bibi1d 333 . 2 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
98eqcomd 2627 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 0 = 𝐴)
109eqeq1d 2623 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11 ax-1ne0 9952 . . . . 5 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 1 ≠ 0)
1312neneqd 2795 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 1 = 0)
14 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1514gt0ne0d 10539 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
1615neneqd 2795 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
1713, 162falsed 366 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18 1cnd 10003 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ∈ ℂ)
1911a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ≠ 0)
2018, 19negne0d 10337 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -1 ≠ 0)
2120neneqd 2795 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ -1 = 0)
22 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
2322lt0ne0d 10540 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
2423neneqd 2795 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
2521, 242falsed 366 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
261, 3, 5, 7, 10, 17, 25sgn3da 30396 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4615  cfv 5849  0cc0 9883  1c1 9884  *cxr 10020   < clt 10021  -cneg 10214  sgncsgn 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-sub 10215  df-neg 10216  df-sgn 13764
This theorem is referenced by:  signsvtn0  30439  signstfvneq0  30441
  Copyright terms: Public domain W3C validator