Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgncl 30930
Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgncl (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgncl
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
21fveq2d 6357 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = (sgn‘0))
3 sgn0 14048 . . . 4 (sgn‘0) = 0
42, 3syl6eq 2810 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) = 0)
5 c0ex 10246 . . . 4 0 ∈ V
65tpid2 4448 . . 3 0 ∈ {-1, 0, 1}
74, 6syl6eqel 2847 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8 sgnn 14053 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
9 negex 10491 . . . . . 6 -1 ∈ V
109tpid1 4447 . . . . 5 -1 ∈ {-1, 0, 1}
118, 10syl6eqel 2847 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
1211adantlr 753 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
13 sgnp 14049 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
14 1ex 10247 . . . . . 6 1 ∈ V
1514tpid3 4450 . . . . 5 1 ∈ {-1, 0, 1}
1613, 15syl6eqel 2847 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
1716adantlr 753 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
18 0xr 10298 . . . 4 0 ∈ ℝ*
19 xrlttri2 12188 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
2019biimpa 502 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2118, 20mpanl2 719 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
2212, 17, 21mpjaodan 862 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ 0) → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
237, 22pm2.61dane 3019 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {ctp 4325   class class class wbr 4804  cfv 6049  0cc0 10148  1c1 10149  *cxr 10285   < clt 10286  -cneg 10479  sgncsgn 14045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-neg 10481  df-sgn 14046
This theorem is referenced by:  sgnclre  30931  sgnmulsgn  30941  sgnmulsgp  30942  signstcl  30972  signstf  30973  signstf0  30975  signstfvn  30976  signsvtn0  30977  signstfvneq0  30979  signsvfn  30989
  Copyright terms: Public domain W3C validator