Theorem sgnmulsgn 31802

Description: If two real numbers are of different signs, so are their signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnmulsgn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))

Proof of Theorem sgnmulsgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1lt0 11748	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
2		breq1 5062	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0 ↔ -1 < 0))
3	1, 2	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
4	3	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
5		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
6		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
7		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
8	7	lt0ne0d 11199	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
9	6, 8	pm2.21ddne 3101	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
10		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
11		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
12	10, 11	eqbrtrrd 5083	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → 1 < 0)
13		1nn0 11907	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		nn0nlt0 11917	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ¬ 1 < 0)
15	13, 14	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → ¬ 1 < 0)
16	12, 15	pm2.21dd 197	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
17		remulcl 10616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10685	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
19	18	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
20		sgncl 31791	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1})
21		eltpi 4619	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1} → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
23	5, 9, 16, 22	mpjao3dan 1427	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
24	4, 23	impbida 799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ↔ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0))
25		sgnnbi 31798	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
26	18, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
27		sgnmul 31795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
28	27	breq1d 5069	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
29	24, 26, 28	3bitr3d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {ctp 4565   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669  -cneg 10865  ℕ₀cn0 11891  sgncsgn 14439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11892  df-rp 12384  df-sgn 14440

This theorem is referenced by:  signsvfn  31847  signsvfnn  31851