MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnn 14004
Description: Proof that signum of negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnn ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn
StepHypRef Expression
1 sgnval 13998 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
21adantr 472 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3 0xr 10249 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
4 xrltne 12158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
53, 4mp3an2 1549 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6 nesym 2976 . . . 4 (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
75, 6sylib 208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
87iffalsed 4229 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9 iftrue 4224 . . 3 (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
109adantl 473 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
112, 8, 103eqtrd 2786 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  ifcif 4218   class class class wbr 4792  cfv 6037  0cc0 10099  1c1 10100  *cxr 10236   < clt 10237  -cneg 10430  sgncsgn 13996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-neg 10432  df-sgn 13997
This theorem is referenced by:  sgnmnf  14005  sgncl  30880  sgnmul  30884  sgnsub  30886  sgnnbi  30887  sgnsgn  30890
  Copyright terms: Public domain W3C validator