Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnnbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnnbi 29740
Description: Negative signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnnbi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem sgnnbi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2613 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 0 = -1))
32imbi1d 329 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (0 = -1 → 𝐴 < 0)))
4 eqeq1 2613 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 1 = -1))
54imbi1d 329 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (1 = -1 → 𝐴 < 0)))
6 eqeq1 2613 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ -1 = -1))
76imbi1d 329 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (-1 = -1 → 𝐴 < 0)))
8 neg1ne0 10973 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
98nesymi 2838 . . . . . 6 ¬ 0 = -1
109pm2.21i 114 . . . . 5 (0 = -1 → 𝐴 < 0)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = -1 → 𝐴 < 0))
12 neg1rr 10972 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
13 neg1lt0 10974 . . . . . . . . 9 -1 < 0
14 0lt1 10399 . . . . . . . . 9 0 < 1
15 0re 9896 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
16 1re 9895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1712, 15, 16lttri 10014 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
1813, 14, 17mp2an 703 . . . . . . . 8 -1 < 1
1912, 18gtneii 10000 . . . . . . 7 1 ≠ -1
2019neii 2783 . . . . . 6 ¬ 1 = -1
2120pm2.21i 114 . . . . 5 (1 = -1 → 𝐴 < 0)
2221a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = -1 → 𝐴 < 0))
23 simp2 1054 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0 ∧ -1 = -1) → 𝐴 < 0)
24233expia 1258 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = -1 → 𝐴 < 0))
251, 3, 5, 7, 11, 22, 24sgn3da 29736 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0))
2625imp 443 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = -1) → 𝐴 < 0)
27 sgnn 13628 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
2826, 27impbida 872 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  0cc0 9792  1c1 9793  *cxr 9929   < clt 9930  -cneg 10118  sgncsgn 13620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-sgn 13621
This theorem is referenced by:  sgnmulsgn  29744
  Copyright terms: Public domain W3C validator