Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnpbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnpbi 31703
Description: Positive signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnpbi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem sgnpbi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2822 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 = 1))
32imbi1d 343 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (0 = 1 → 0 < 𝐴)))
4 eqeq1 2822 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 1 = 1))
54imbi1d 343 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (1 = 1 → 0 < 𝐴)))
6 eqeq1 2822 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ -1 = 1))
76imbi1d 343 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)))
8 0ne1 11696 . . . . . . 7 0 ≠ 1
98neii 3015 . . . . . 6 ¬ 0 = 1
109pm2.21i 119 . . . . 5 (0 = 1 → 0 < 𝐴)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = 1 → 0 < 𝐴))
12 simp2 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴 ∧ 1 = 1) → 0 < 𝐴)
13123expia 1113 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 1 → 0 < 𝐴))
14 neg1rr 11740 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
15 neg1lt0 11742 . . . . . . . . 9 -1 < 0
16 0lt1 11150 . . . . . . . . 9 0 < 1
17 0re 10631 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
18 1re 10629 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1914, 17, 18lttri 10754 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
2015, 16, 19mp2an 688 . . . . . . . 8 -1 < 1
2114, 20gtneii 10740 . . . . . . 7 1 ≠ -1
2221nesymi 3070 . . . . . 6 ¬ -1 = 1
2322pm2.21i 119 . . . . 5 (-1 = 1 → 0 < 𝐴)
2423a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = 1 → 0 < 𝐴))
251, 3, 5, 7, 11, 13, 24sgn3da 31698 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴))
2625imp 407 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = 1) → 0 < 𝐴)
27 sgnp 14437 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
2826, 27impbida 797 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  0cc0 10525  1c1 10526  *cxr 10662   < clt 10663  -cneg 10859  sgncsgn 14433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-sgn 14434
This theorem is referenced by:  sgnmulsgp  31707
  Copyright terms: Public domain W3C validator