Theorem sgnsf 30059

Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsf	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 30057	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6		c0ex 10246	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	tpid2 4448	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
8		1ex 10247	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
9	8	tpid3 4450	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
10		negex 10491	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
11	10	tpid1 4447	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
12	9, 11	keepel 4299	. . . 4 ⊢ if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ {-1, 0, 1}
13	7, 12	keepel 4299	. . 3 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1})
15	5, 14	fmpt3d 6550	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ifcif 4230  {ctp 4325   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  0cc0 10148  1c1 10149  -cneg 10479  Basecbs 16079  0_gc0g 16322  ltcplt 17162  sgn_scsgns 30055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-mulcl 10210  ax-i2m1 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-neg 10481  df-sgns 30056

This theorem is referenced by: (None)