Theorem sgnsf 28853

Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sgnsval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sgnsval.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s	⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sgnsf	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnsval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		sgnsval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		sgnsval.l	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
4		sgnsval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sgns‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	sgnsv 28851	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6		c0ex 9890	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	tpid2 4246	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
8		1ex 9891	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
9	8	tpid3 4249	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {-1, 0, 1}
10		negex 10130	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ V
11	10	tpid1 4245	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ {-1, 0, 1}
12	9, 11	keepel 4104	. . . 4 ⊢ if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ {-1, 0, 1}
13	7, 12	keepel 4104	. . 3 ⊢ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1})
15	5, 14	fmpt3d 6277	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ifcif 4035  {ctp 4128   class class class wbr 4577  ⟶wf 5785  ‘cfv 5789  0cc0 9792  1c1 9793  -cneg 10118  Basecbs 15643  0_gc0g 15871  ltcplt 16712  sgn_scsgns 28849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pr 4827  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-mulcl 9854  ax-i2m1 9860

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-neg 10120  df-sgns 28850

This theorem is referenced by: (None)