Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnsf 30059
Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sgnsval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
sgnsval.0 0 = (0g𝑅)
sgnsval.l < = (lt‘𝑅)
sgnsval.s 𝑆 = (sgns𝑅)
Assertion
Ref Expression
sgnsf (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})

Proof of Theorem sgnsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgnsval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 sgnsval.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
3 sgnsval.l . . 3 < = (lt‘𝑅)
4 sgnsval.s . . 3 𝑆 = (sgns𝑅)
51, 2, 3, 4sgnsv 30057 . 2 (𝑅𝑉𝑆 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1))))
6 c0ex 10246 . . . . 5 0 ∈ V
76tpid2 4448 . . . 4 0 ∈ {-1, 0, 1}
8 1ex 10247 . . . . . 6 1 ∈ V
98tpid3 4450 . . . . 5 1 ∈ {-1, 0, 1}
10 negex 10491 . . . . . 6 -1 ∈ V
1110tpid1 4447 . . . . 5 -1 ∈ {-1, 0, 1}
129, 11keepel 4299 . . . 4 if( 0 < 𝑥, 1, -1) ∈ {-1, 0, 1}
137, 12keepel 4299 . . 3 if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1}
1413a1i 11 . 2 ((𝑅𝑉𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, if( 0 < 𝑥, 1, -1)) ∈ {-1, 0, 1})
155, 14fmpt3d 6550 1 (𝑅𝑉𝑆:𝐵⟶{-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  ifcif 4230  {ctp 4325   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  0cc0 10148  1c1 10149  -cneg 10479  Basecbs 16079  0gc0g 16322  ltcplt 17162  sgnscsgns 30055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-mulcl 10210  ax-i2m1 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-neg 10481  df-sgns 30056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator