Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrimval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrimval 22657
 Description: The induced metric on a subgroup in terms of the induced metric on the parent normed group. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sgrim.x 𝑋 = (𝑇s 𝑈)
sgrim.d 𝐷 = (dist‘𝑇)
sgrim.e 𝐸 = (dist‘𝑋)
sgrimval.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
sgrimval.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
sgrimval.s 𝑆 = (SubGrp‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
sgrimval (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem sgrimval
StepHypRef Expression
1 sgrim.x . . . 4 𝑋 = (𝑇s 𝑈)
2 sgrim.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑇)
3 sgrim.e . . . 4 𝐸 = (dist‘𝑋)
41, 2, 3sgrim 22656 . . 3 (𝑈𝑆𝐸 = 𝐷)
54oveqd 6831 . 2 (𝑈𝑆 → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
65ad2antlr 765 1 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑈)) → (𝐴𝐸𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↾s cress 16080  distcds 16172  SubGrpcsubg 17809  normcnm 22602  NrmGrpcngp 22603   toNrmGrp ctng 22604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-ds 16186 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator