MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2nmndlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2nmndlem5 17332
Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 17333: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sgrp2nmndlem5 ((#‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 13123 . 2 ((#‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 mgm2nsgrp.b . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = 𝑆
4 sgrp2nmnd.o . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5 eqid 2626 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
61, 3, 4, 5sgrp2nmndlem2 17327 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
763adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
8 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
97, 8eqnetrd 2863 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
109olcd 408 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐴))
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 2857 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐵))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
1614, 15neeq12d 2857 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
1713, 16rexprg 4211 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18173adant3 1079 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
1910, 18mpbird 247 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
201, 3, 4, 5sgrp2nmndlem3 17328 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵)
21 necom 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
22 df-ne 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
2321, 22sylbb 209 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24233ad2ant3 1082 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2524adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26 eqeq1 2630 . . . . . . . . 9 ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2726adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2825, 27mtbird 315 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
2920, 28mpdan 701 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
3029neqned 2803 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
3130orcd 407 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐴))
3332, 12neeq12d 2857 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34 oveq2 6613 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐵))
3534, 15neeq12d 2857 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
3633, 35rexprg 4211 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37363adant3 1079 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
3831, 37mpbird 247 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39 oveq1 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝑦))
4039neeq1d 2855 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4140rexbidv 3050 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42 oveq1 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝑦))
4342neeq1d 2855 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4443rexbidv 3050 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4541, 44ralprg 4210 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46453adant3 1079 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
4719, 38, 46mpbir2and 956 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
483, 1eqtr2i 2649 . . 3 {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
4948, 5isnmnd 17214 . 2 (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦𝑀 ∉ Mnd)
502, 47, 493syl 18 1 ((#‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wnel 2899  wral 2912  wrex 2913  ifcif 4063  {cpr 4155  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  2c2 11015  #chash 13054  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  Mndcmnd 17210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055  df-mnd 17211
This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  17333  sgrpnmndex  17335
  Copyright terms: Public domain W3C validator