Theorem shex 27918

Description: The set of subspaces of a Hilbert space exists (is a set). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shex	⊢ Sℋ ∈ V

Proof of Theorem shex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 27705	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2	1	pwex 4808	. 2 ⊢ 𝒫 ℋ ∈ V
3		shss 27916	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ⊆ ℋ)
4		selpw 4137	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝑥 ⊆ ℋ)
5	3, 4	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Sℋ → 𝑥 ∈ 𝒫 ℋ)
6	5	ssriv 3587	. 2 ⊢ Sℋ ⊆ 𝒫 ℋ
7	2, 6	ssexi 4763	1 ⊢ Sℋ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130   ℋchil 27625   S_ℋ csh 27634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-pow 4803  ax-hilex 27705

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080  df-cnv 5082  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-sh 27913

This theorem is referenced by:  chex  27932