MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftf 13753
Description: Functionality of a shifted sequence. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftf ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem shftf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6002 . . 3 (𝐹:𝐵𝐶𝐹 Fn 𝐵)
2 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
32shftfn 13747 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐵𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
41, 3sylan 488 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵})
5 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
65eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
76elrab 3346 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵))
8 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
102shftval 13748 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
118, 9, 10syl2an 494 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝐴)))
12 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐵𝐶)
13 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)
14 ffvelrn 6313 . . . . . 6 ((𝐹:𝐵𝐶 ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1512, 13, 14syl2an 494 . . . . 5 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑦𝐴)) ∈ 𝐶)
1611, 15eqeltrd 2698 . . . 4 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
177, 16sylan2b 492 . . 3 (((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
1817ralrimiva 2960 . 2 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶)
19 ffnfv 6343 . 2 ((𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶 ↔ ((𝐹 shift 𝐴) Fn {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} ((𝐹 shift 𝐴)‘𝑦) ∈ 𝐶))
204, 18, 19sylanbrc 697 1 ((𝐹:𝐵𝐶𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴):{𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵}⟶𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cmin 10210   shift cshi 13740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-shft 13741
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator