Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftidt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftidt2 13802
 Description: Identity law for the shift operation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftidt2 (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)

Proof of Theorem shftidt2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subid1 10286 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
21breq1d 4654 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 − 0)𝐹𝑦𝑥𝐹𝑦))
32pm5.32i 668 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦))
43opabbii 4708 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
5 0cn 10017 . . 3 0 ∈ ℂ
6 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
76shftfval 13791 . . 3 (0 ∈ ℂ → (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)})
85, 7ax-mp 5 . 2 (𝐹 shift 0) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 0)𝐹𝑦)}
9 dfres2 5441 . 2 (𝐹 ↾ ℂ) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐹𝑦)}
104, 8, 93eqtr4i 2652 1 (𝐹 shift 0) = (𝐹 ↾ ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  {copab 4703   ↾ cres 5106  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  0cc0 9921   − cmin 10251   shift cshi 13787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-shft 13788 This theorem is referenced by:  shftidt  13803
 Copyright terms: Public domain W3C validator