HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shintcli 28034
Description: Closure of intersection of a nonempty subset of S. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shintcl.1 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
shintcli 𝐴S

Proof of Theorem shintcli
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shintcl.1 . . . . 5 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
21simpri 478 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
3 n0 3907 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
4 intss1 4457 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 𝐴𝑧)
51simpli 474 . . . . . . . . 9 𝐴S
65sseli 3579 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴𝑧S )
7 shss 27913 . . . . . . . 8 (𝑧S𝑧 ⊆ ℋ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑧𝐴𝑧 ⊆ ℋ)
94, 8sstrd 3593 . . . . . 6 (𝑧𝐴 𝐴 ⊆ ℋ)
109exlimiv 1855 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧𝐴 𝐴 ⊆ ℋ)
113, 10sylbi 207 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ⊆ ℋ)
122, 11ax-mp 5 . . 3 𝐴 ⊆ ℋ
13 ax-hv0cl 27706 . . . . . 6 0 ∈ ℋ
1413elexi 3199 . . . . 5 0 ∈ V
1514elint2 4447 . . . 4 (0 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 0𝑧)
16 sh0 27919 . . . . 5 (𝑧S → 0𝑧)
176, 16syl 17 . . . 4 (𝑧𝐴 → 0𝑧)
1815, 17mprgbir 2922 . . 3 0 𝐴
1912, 18pm3.2i 471 . 2 ( 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0 𝐴)
20 elinti 4450 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐴 → (𝑧𝐴𝑥𝑧))
2120com12 32 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → (𝑥 𝐴𝑥𝑧))
22 elinti 4450 . . . . . . . . 9 (𝑦 𝐴 → (𝑧𝐴𝑦𝑧))
2322com12 32 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → (𝑦 𝐴𝑦𝑧))
24 shaddcl 27920 . . . . . . . . . 10 ((𝑧S𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
256, 24syl3an1 1356 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
26253expib 1265 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → ((𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2721, 23, 26syl2and 500 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2827com12 32 . . . . . 6 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧))
2928ralrimiv 2959 . . . . 5 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
30 ovex 6632 . . . . . 6 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
3130elint2 4447 . . . . 5 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑧)
3229, 31sylibr 224 . . . 4 ((𝑥 𝐴𝑦 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3332rgen2a 2971 . . 3 𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴
34 shmulcl 27921 . . . . . . . . . 10 ((𝑧S𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
356, 34syl3an1 1356 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
36353expib 1265 . . . . . . . 8 (𝑧𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3723, 36sylan2d 499 . . . . . . 7 (𝑧𝐴 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3837com12 32 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧))
3938ralrimiv 2959 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → ∀𝑧𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
40 ovex 6632 . . . . . 6 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
4140elint2 4447 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑧)
4239, 41sylibr 224 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
4342rgen2 2969 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴
4433, 43pm3.2i 471 . 2 (∀𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
45 issh2 27912 . 2 ( 𝐴S ↔ (( 𝐴 ⊆ ℋ ∧ 0 𝐴) ∧ (∀𝑥 𝐴𝑦 𝐴(𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 𝐴(𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)))
4619, 44, 45mpbir2an 954 1 𝐴S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3555  c0 3891   cint 4440  (class class class)co 6604  cc 9878  chil 27622   + cva 27623   · csm 27624  0c0v 27627   S csh 27631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hv0cl 27706  ax-hfvmul 27708
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-sh 27910
This theorem is referenced by:  shintcl  28035  chintcli  28036  shincli  28067
  Copyright terms: Public domain W3C validator