HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlessi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shlessi 28206
Description: Subset implies subset of subspace sum. (Contributed by NM, 18-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1 𝐴S
shincl.2 𝐵S
shless.1 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shlessi (𝐴𝐵 → (𝐴 + 𝐶) ⊆ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem shlessi
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . 2 𝐴S
2 shincl.2 . 2 𝐵S
3 shless.1 . 2 𝐶S
4 shless 28188 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐶) ⊆ (𝐵 + 𝐶))
54ex 450 . 2 ((𝐴S𝐵S𝐶S ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 + 𝐶) ⊆ (𝐵 + 𝐶)))
61, 2, 3, 5mp3an 1422 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 + 𝐶) ⊆ (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036  wcel 1988  wss 3567  (class class class)co 6635   S csh 27755   + cph 27758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254  df-grpo 27317  df-ablo 27369  df-hvsub 27798  df-sh 28034  df-shs 28137
This theorem is referenced by:  shslubi  28214  osumcor2i  28473  mayete3i  28557
  Copyright terms: Public domain W3C validator