Theorem shscli 29097

Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shscl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shscl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shscli	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

Proof of Theorem shscli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑔 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shscl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shsss 29093	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
5		sh0 28996	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐴)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐴
7		sh0 28996	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Sℋ → 0ℎ ∈ 𝐵)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐵
9		ax-hv0cl 28783	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
10	9	hvaddid2i 28809	. . . . . 6 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	10	eqcomi 2833	. . . . 5 ⊢ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)
12		rspceov 7206	. . . . 5 ⊢ ((0ℎ ∈ 𝐴 ∧ 0ℎ ∈ 𝐵 ∧ 0ℎ = (0ℎ +ℎ 0ℎ)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)
14	1, 2	shseli 29096	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 0ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15	13, 14	mpbir 233	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
16	4, 15	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
17	1, 2	shseli 29096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))
18	1, 2	shseli 29096	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))
19		shaddcl 28997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
20	1, 19	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
21	20	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
22	21	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
23		shaddcl 28997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
24	2, 23	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
25	24	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
26	25	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
27		oveq12 7168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
28	27	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
29	1	sheli 28994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℋ)
30	1	sheli 28994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ℋ)
31	29, 30	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ))
32	2	sheli 28994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ ℋ)
33	2	sheli 28994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → 𝑢 ∈ ℋ)
34	32, 33	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ))
35		hvadd4 28816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ (𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
36	31, 34, 35	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
37	36	an4s 658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
38	37	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) +ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
39	28, 38	eqtr4d 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢)))
40		rspceov 7206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 +ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑤 +ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = ((𝑧 +ℎ 𝑣) +ℎ (𝑤 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
41	22, 26, 39, 40	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
42	41	ancoms 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
43	42	exp43 439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
44	43	rexlimivv 3295	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
45	44	com3l 89	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
46	45	rexlimivv 3295	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
47	46	imp 409	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑤) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
48	17, 18, 47	syl2anb 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
49	1, 2	shseli 29096	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
50	48, 49	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
51	50	rgen2 3206	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
52		shmulcl 28998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
53	1, 52	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
54	53	adantrr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴)
55		shmulcl 28998	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
56	2, 55	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
57	56	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
58	57	adantrl 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵)
59		oveq2 7167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
60	59	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
61	60	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)))
62		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		ax-hvdistr1 28788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
64	62, 30, 33, 63	syl3an 1156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
65	64	3expb 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
66	65	adantrrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ (𝑣 +ℎ 𝑢)) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
67	61, 66	eqtrd 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢)))
68		rspceov 7206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑢) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = ((𝑥 ·ℎ 𝑣) +ℎ (𝑥 ·ℎ 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
69	54, 58, 67, 68	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
70	69	ancoms 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
71	70	exp42 438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))))
72	71	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))))
73	72	rexlimivv 3295	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢) → (𝑥 ∈ ℂ → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
74	73	impcom 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝑣 +ℎ 𝑢)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
75	18, 74	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
76	1, 2	shseli 29096	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑓 +ℎ 𝑔))
77	75, 76	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
78	77	rgen2 3206	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)
79	51, 78	pm3.2i 473	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80		issh2 28989	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ↔ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)(𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
81	16, 79, 80	mpbir2an 709	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   ⊆ wss 3939  (class class class)co 7159  ℂcc 10538   ℋchba 28699   +_ℎ cva 28700   ·_ℎ csm 28701  0_ℎc0v 28704   S_ℋ csh 28708   +_ℋ cph 28711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hvcom 28781  ax-hvass 28782  ax-hv0cl 28783  ax-hvaddid 28784  ax-hfvmul 28785  ax-hvmulid 28786  ax-hvdistr1 28788  ax-hvdistr2 28789  ax-hvmul0 28790

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875  df-neg 10876  df-grpo 28273  df-ablo 28325  df-hvsub 28751  df-sh 28987  df-shs 29088

This theorem is referenced by:  shscl  29098  shsval2i  29167  shjshsi  29272  spanuni  29324  5oalem1  29434  5oalem3  29436  5oalem5  29438  5oalem6  29439  5oai  29441  3oalem2  29443  3oalem6  29447  mayete3i  29508  sumdmdlem  30198