HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel1 28050
Description: A subspace sum contains a member of one of its subspaces. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶𝐴𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shsel1
StepHypRef Expression
1 shel 27938 . . . . 5 ((𝐴S𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ ℋ)
2 ax-hvaddid 27731 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 + 0) = 𝐶)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐴S𝐶𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
43adantlr 750 . . 3 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
5 sh0 27943 . . . . . 6 (𝐵S → 0𝐵)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝐴S𝐵S ) → 0𝐵)
7 shsva 28049 . . . . 5 ((𝐴S𝐵S ) → ((𝐶𝐴 ∧ 0𝐵) → (𝐶 + 0) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
86, 7mpan2d 709 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶𝐴 → (𝐶 + 0) ∈ (𝐴 + 𝐵)))
98imp 445 . . 3 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐶 + 0) ∈ (𝐴 + 𝐵))
104, 9eqeltrrd 2699 . 2 (((𝐴S𝐵S ) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵))
1110ex 450 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶𝐴𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  chil 27646   + cva 27647  0c0v 27651   S csh 27655   + cph 27658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031  df-sub 10220  df-neg 10221  df-grpo 27217  df-ablo 27269  df-hvsub 27698  df-sh 27934  df-shs 28037
This theorem is referenced by:  shsel2  28051  shsvs  28052  shsub1  28053  shsel1i  28094
  Copyright terms: Public domain W3C validator