HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsidmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsidmi 28092
Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shsidm.1 𝐴S
Assertion
Ref Expression
shsidmi (𝐴 + 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem shsidmi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsidm.1 . . . . 5 𝐴S
21, 1shseli 28024 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
3 shaddcl 27923 . . . . . . 7 ((𝐴S𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐴)
41, 3mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐴)
5 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐴))
64, 5syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
76rexlimivv 3029 . . . 4 (∃𝑦𝐴𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴)
82, 7sylbi 207 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐴) → 𝑥𝐴)
98ssriv 3587 . 2 (𝐴 + 𝐴) ⊆ 𝐴
101, 1shsub1i 28080 . 2 𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐴)
119, 10eqssi 3599 1 (𝐴 + 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  (class class class)co 6604   + cva 27626   S csh 27634   + cph 27637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213  df-grpo 27196  df-ablo 27248  df-hvsub 27677  df-sh 27913  df-shs 28016
This theorem is referenced by:  shslubi  28093
  Copyright terms: Public domain W3C validator