HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shslubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shslubi 28474
Description: The least upper bound law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shslub.1 𝐴S
shslub.2 𝐵S
shslub.3 𝐶S
Assertion
Ref Expression
shslubi ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem shslubi
StepHypRef Expression
1 shslub.1 . . . . 5 𝐴S
2 shslub.3 . . . . 5 𝐶S
3 shslub.2 . . . . 5 𝐵S
41, 2, 3shlessi 28466 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐶 + 𝐵))
52, 3shscomi 28452 . . . 4 (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶)
64, 5syl6sseq 3757 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐵 + 𝐶))
73, 2, 2shlessi 28466 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ (𝐶 + 𝐶))
82shsidmi 28473 . . . 4 (𝐶 + 𝐶) = 𝐶
97, 8syl6sseq 3757 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐵 + 𝐶) ⊆ 𝐶)
106, 9sylan9ss 3722 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
111, 3shsub1i 28461 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
12 sstr 3717 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐴𝐶)
1311, 12mpan 708 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐴𝐶)
143, 1shsub2i 28462 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
15 sstr 3717 . . . 4 ((𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵) ∧ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶) → 𝐵𝐶)
1614, 15mpan 708 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶𝐵𝐶)
1713, 16jca 555 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
1810, 17impbii 199 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐵) ⊆ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2103  wss 3680  (class class class)co 6765   S csh 28015   + cph 28018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hvcom 28088  ax-hvass 28089  ax-hv0cl 28090  ax-hvaddid 28091  ax-hfvmul 28092  ax-hvmulid 28093  ax-hvdistr2 28096  ax-hvmul0 28097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-ltxr 10192  df-sub 10381  df-neg 10382  df-grpo 27577  df-ablo 27629  df-hvsub 28058  df-sh 28294  df-shs 28397
This theorem is referenced by:  shlesb1i  28475  shsval2i  28476
  Copyright terms: Public domain W3C validator