HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsss 28033
Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsss ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss
StepHypRef Expression
1 shsval 28032 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
2 imassrn 5438 . . 3 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +
3 ax-hfvadd 27718 . . . 4 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4 frn 6012 . . . 4 ( + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran + ⊆ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . 3 ran + ⊆ ℋ
62, 5sstri 3593 . 2 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
71, 6syl6eqss 3636 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wss 3556   × cxp 5074  ran crn 5077  cima 5079  wf 5845  (class class class)co 6607  chil 27637   + cva 27638   S csh 27646   + cph 27649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-hilex 27717  ax-hfvadd 27718  ax-hvcom 27719  ax-hvass 27720  ax-hv0cl 27721  ax-hvaddid 27722  ax-hfvmul 27723  ax-hvmulid 27724  ax-hvdistr2 27727  ax-hvmul0 27728
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-ltxr 10026  df-sub 10215  df-neg 10216  df-grpo 27208  df-ablo 27260  df-hvsub 27689  df-shs 28028
This theorem is referenced by:  shscli  28037  pjhth  28113  pjpreeq  28118
  Copyright terms: Public domain W3C validator