HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsupunss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsupunss 28506
Description: The union of a set of subspaces is smaller than its supremum. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsupunss (𝐴S 𝐴 ⊆ (span‘ 𝐴))

Proof of Theorem shsupunss
StepHypRef Expression
1 shsspwh 28404 . . . . 5 S ⊆ 𝒫 ℋ
2 sstr 3744 . . . . 5 ((𝐴SS ⊆ 𝒫 ℋ) → 𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
31, 2mpan2 709 . . . 4 (𝐴S𝐴 ⊆ 𝒫 ℋ)
43unissd 4606 . . 3 (𝐴S 𝐴 𝒫 ℋ)
5 unipw 5059 . . 3 𝒫 ℋ = ℋ
64, 5syl6sseq 3784 . 2 (𝐴S 𝐴 ⊆ ℋ)
7 spanss2 28505 . 2 ( 𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘ 𝐴))
86, 7syl 17 1 (𝐴S 𝐴 ⊆ (span‘ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wss 3707  𝒫 cpw 4294   cuni 4580  cfv 6041  chil 28077   S csh 28086  spancspn 28090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hv0cl 28161  ax-hfvmul 28163
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-map 8017  df-nn 11205  df-hlim 28130  df-sh 28365  df-ch 28379  df-span 28469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator