Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsval 28299
 Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsval ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem shsval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq12 5168 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑥 × 𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
21imaeq2d 5501 . 2 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → ( + “ (𝑥 × 𝑦)) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
3 df-shs 28295 . 2 + = (𝑥S , 𝑦S ↦ ( + “ (𝑥 × 𝑦)))
4 hilablo 28145 . . 3 + ∈ AbelOp
5 imaexg 7145 . . 3 ( + ∈ AbelOp → ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
64, 5ax-mp 5 . 2 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V
72, 3, 6ovmpt2a 6833 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   × cxp 5141   “ cima 5146  (class class class)co 6690  AbelOpcablo 27526   +ℎ cva 27905   Sℋ csh 27913   +ℋ cph 27916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-grpo 27475  df-ablo 27527  df-hvsub 27956  df-shs 28295 This theorem is referenced by:  shsss  28300  shsel  28301
 Copyright terms: Public domain W3C validator