HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shuni 28008
Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shuni.1 (𝜑𝐻S )
shuni.2 (𝜑𝐾S )
shuni.3 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
shuni.4 (𝜑𝐴𝐻)
shuni.5 (𝜑𝐵𝐾)
shuni.6 (𝜑𝐶𝐻)
shuni.7 (𝜑𝐷𝐾)
shuni.8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
shuni (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem shuni
StepHypRef Expression
1 shuni.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐻S )
2 shuni.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐻)
3 shuni.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐻)
4 shsubcl 27926 . . . . . . 7 ((𝐻S𝐴𝐻𝐶𝐻) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐻)
6 shuni.8 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
7 shel 27917 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
81, 2, 7syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
9 shuni.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾S )
10 shuni.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝐾)
11 shel 27917 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐵𝐾) → 𝐵 ∈ ℋ)
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
13 shel 27917 . . . . . . . . . 10 ((𝐻S𝐶𝐻) → 𝐶 ∈ ℋ)
141, 3, 13syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℋ)
15 shuni.7 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝐾)
16 shel 27917 . . . . . . . . . 10 ((𝐾S𝐷𝐾) → 𝐷 ∈ ℋ)
179, 15, 16syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℋ)
18 hvaddsub4 27784 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
198, 12, 14, 17, 18syl22anc 1324 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵)))
206, 19mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐵))
21 shsubcl 27926 . . . . . . . 8 ((𝐾S𝐷𝐾𝐵𝐾) → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
229, 15, 10, 21syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 𝐵) ∈ 𝐾)
2320, 22eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐾)
245, 23elind 3776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ (𝐻𝐾))
25 shuni.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐾) = 0)
2624, 25eleqtrd 2700 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) ∈ 0)
27 elch0 27960 . . . 4 ((𝐴 𝐶) ∈ 0 ↔ (𝐴 𝐶) = 0)
2826, 27sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = 0)
29 hvsubeq0 27774 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
308, 14, 29syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
3128, 30mpbid 222 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐶)
3220, 28eqtr3d 2657 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 𝐵) = 0)
33 hvsubeq0 27774 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3417, 12, 33syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 𝐵) = 0𝐷 = 𝐵))
3532, 34mpbid 222 . . 3 (𝜑𝐷 = 𝐵)
3635eqcomd 2627 . 2 (𝜑𝐵 = 𝐷)
3731, 36jca 554 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3554  (class class class)co 6604  chil 27625   + cva 27626  0c0v 27630   cmv 27631   S csh 27634  0c0h 27641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvmulass 27713  ax-hvdistr1 27714  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-hvsub 27677  df-sh 27913  df-ch0 27959
This theorem is referenced by:  chocunii  28009  pjhthmo  28010  chscllem3  28347
  Copyright terms: Public domain W3C validator