Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfrn 30527
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sibfrn (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem sibfrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sibfmbl.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
2 sitgval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
3 sitgval.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
4 sitgval.s . . . 4 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
5 sitgval.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
6 sitgval.x . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 sitgval.h . . . 4 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
8 sitgval.1 . . . 4 (𝜑𝑊𝑉)
9 sitgval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9issibf 30523 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) ↔ (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))))
111, 10mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞)))
1211simp2d 1094 1 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cdif 3604  {csn 4210   cuni 4468  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  [,)cico 12215  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  TopOpenctopn 16129  0gc0g 16147  ℝHomcrrh 30165  sigaGencsigagen 30329  measurescmeas 30386  MblFnMcmbfm 30440  sitgcsitg 30519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-sitg 30520
This theorem is referenced by:  sibfof  30530  sitgfval  30531  sitgclg  30532
  Copyright terms: Public domain W3C validator