Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigaclcu3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigaclcu3 30159
Description: A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigaclcu3.1 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
sigaclcu3.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
sigaclcu3.3 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
sigaclcu3 (𝜑 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu3
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
21iuneq1d 4536 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑘𝑁 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
3 sigaclcu3.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
5 sigaclcu3.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴𝑆)
65ralrimiva 2963 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑁 𝐴𝑆)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = ℕ) → ∀𝑘𝑁 𝐴𝑆)
81raleqdv 3139 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = ℕ) → (∀𝑘𝑁 𝐴𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆))
97, 8mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
10 sigaclcu2 30157 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
114, 9, 10syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ 𝐴𝑆)
122, 11eqeltrd 2699 . 2 ((𝜑𝑁 = ℕ) → 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
13 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
1413iuneq1d 4536 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑘𝑁 𝐴 = 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
153adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
166adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘𝑁 𝐴𝑆)
1713raleqdv 3139 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → (∀𝑘𝑁 𝐴𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆))
1816, 17mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆)
19 sigaclfu2 30158 . . . 4 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆)
2015, 18, 19syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴𝑆)
2114, 20eqeltrd 2699 . 2 ((𝜑𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
22 sigaclcu3.2 . 2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
2312, 21, 22mpjaodan 826 1 (𝜑 𝑘𝑁 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909   cuni 4427   ciun 4511  ran crn 5105  (class class class)co 6635  1c1 9922  cn 11005  ..^cfzo 12449  sigAlgebracsiga 30144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-card 8750  df-acn 8753  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-siga 30145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator