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Theorem sigapildsyslem 31319
Description: Lemma for sigapildsys 31320. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
sigapildsyslem.n 𝑛𝜑
sigapildsyslem.1 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
sigapildsyslem.2 (𝜑𝐴𝑡)
sigapildsyslem.3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
Assertion
Ref Expression
sigapildsyslem (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4926 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2 0iun 4977 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
31, 2syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = ∅)
43difeq2d 4096 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5 dif0 4329 . . . . 5 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
64, 5syl6eq 2869 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
8 sigapildsyslem.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑡)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → 𝐴𝑡)
107, 9eqeltrd 2910 . 2 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11 iindif2 4990 . . . 4 (𝑁 ≠ ∅ → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
1211adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
13 sigapildsyslem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1514elin1d 4172 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝑃)
16 dynkin.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
1716ispisys 31310 . . . . . 6 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1815, 17sylib 219 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1918simprd 496 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20 sigapildsyslem.n . . . . . . 7 𝑛𝜑
21 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑛 𝑁 ≠ ∅
2220, 21nfan 1891 . . . . . 6 𝑛(𝜑𝑁 ≠ ∅)
2318simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
2423elpwid 4549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
258adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑡)
2624, 25sseldd 3965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
2726elpwid 4549 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑂)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑂)
29 difin2 4263 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3119adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
3214adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
3314elin2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝐿)
34 dynkin.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3534isldsys 31314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3633, 35sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3736simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
3837simp2d 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
40 sigapildsyslem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
4140adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
42 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑂𝐵) ∈ 𝑡
43 difeq2 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐵 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐵))
4443eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4542, 44rspc 3608 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡)
4825adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑡)
49 inelfi 8870 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡𝐴𝑡) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5032, 47, 48, 49syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5131, 50sseldd 3965 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
5230, 51eqeltrd 2910 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
5352ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑛𝑁 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡))
5422, 53ralrimi 3213 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
55 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56 sigapildsyslem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5756adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58 vex 3495 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
59 iinfi 8869 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6058, 59mpan 686 . . . . 5 ((∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6154, 55, 57, 60syl3anc 1363 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6219, 61sseldd 3965 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
6312, 62eqeltrrd 2911 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
6410, 63pm2.61dane 3101 1 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cuni 4830   ciun 4910   ciin 4911  Disj wdisj 5022   class class class wbr 5057  cfv 6348  ωcom 7569  cdom 8495  Fincfn 8497  ficfi 8862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501  df-fi 8863
This theorem is referenced by:  sigapildsys  31320
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