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Theorem sigapildsyslem 30454
Description: Lemma for sigapildsys 30455. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
sigapildsyslem.n 𝑛𝜑
sigapildsyslem.1 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
sigapildsyslem.2 (𝜑𝐴𝑡)
sigapildsyslem.3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
Assertion
Ref Expression
sigapildsyslem (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4642 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2 0iun 4685 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
31, 2syl6eq 2774 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = ∅)
43difeq2d 3836 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5 dif0 4058 . . . . 5 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
64, 5syl6eq 2774 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
76adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
8 sigapildsyslem.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑡)
98adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → 𝐴𝑡)
107, 9eqeltrd 2803 . 2 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11 iindif2 4697 . . . 4 (𝑁 ≠ ∅ → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
1211adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
13 sigapildsyslem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1413adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1514elin1d 3910 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝑃)
16 dynkin.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
1716ispisys 30445 . . . . . 6 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1815, 17sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1918simprd 482 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20 sigapildsyslem.n . . . . . . 7 𝑛𝜑
21 nfv 1956 . . . . . . 7 𝑛 𝑁 ≠ ∅
2220, 21nfan 1941 . . . . . 6 𝑛(𝜑𝑁 ≠ ∅)
2318simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
2423elpwid 4278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
258adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑡)
2624, 25sseldd 3710 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
2726elpwid 4278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑂)
2827adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑂)
29 difin2 3998 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3119adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
3214adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
3314elin2d 3911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝐿)
34 dynkin.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3534isldsys 30449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3633, 35sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3736simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
3837simp2d 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
3938adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
40 sigapildsyslem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
4140adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
42 nfv 1956 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑂𝐵) ∈ 𝑡
43 difeq2 3830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐵 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐵))
4443eleq1d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4542, 44rspc 3407 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡)
4825adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑡)
49 inelfi 8440 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡𝐴𝑡) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5032, 47, 48, 49syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5131, 50sseldd 3710 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
5230, 51eqeltrd 2803 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
5352ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑛𝑁 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡))
5422, 53ralrimi 3059 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
55 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56 sigapildsyslem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5756adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58 vex 3307 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
59 iinfi 8439 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6058, 59mpan 708 . . . . 5 ((∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6154, 55, 57, 60syl3anc 1439 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6219, 61sseldd 3710 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
6312, 62eqeltrrd 2804 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
6410, 63pm2.61dane 2983 1 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wnf 1821  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  {crab 3018  Vcvv 3304  cdif 3677  cin 3679  wss 3680  c0 4023  𝒫 cpw 4266   cuni 4544   ciun 4628   ciin 4629  Disj wdisj 4728   class class class wbr 4760  cfv 6001  ωcom 7182  cdom 8070  Fincfn 8072  ficfi 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-fin 8076  df-fi 8433
This theorem is referenced by:  sigapildsys  30455
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