Theorem sigardiv 43112

Description: If signed area between vectors 𝐵 − 𝐴 and 𝐶 − 𝐴 is zero, then those vectors lie on the same line. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigardiv.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigardiv.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
sigardiv.c	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigardiv	⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigardiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigardiv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp2d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1	simp1d 1138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 10991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
5	1	simp3d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5, 3	subcld 10991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
7		sigardiv.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = 𝐴)
8	7	neqned 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
9	5, 3, 8	subne0d 11000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0)
10	4, 6, 9	cjdivd 14576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
11	4	cjcld 14549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6	cjcld 14549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 9	cjne0d 14556	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
14	11, 12, 6, 13, 9	divcan5rd 11437	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))))
15	11, 6	mulcld 10655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
16		sigar	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
17	16	sigarval 43101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
18	4, 6, 17	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))))
19		sigardiv.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = 0)
20	18, 19	eqtr3d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
21	15, 20	reim0bd 14553	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
22	6, 12	mulcomd 10656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) = ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))
23	6	cjmulrcld 14559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐴) · (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
24	22, 23	eqeltrrd 2914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)
25	12, 6, 13, 9	mulne0d 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0)
26	21, 24, 25	redivcld 11462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) / ((∗‘(𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
27	14, 26	eqeltrrd 2914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐵 − 𝐴)) / (∗‘(𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
28	10, 27	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℝ)
29	28	cjred 14579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))))
30	4, 6, 9	divcld 11410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
31	30	cjcjd 14552	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∗‘(∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
32	29, 31	eqtr3d 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴))) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)))
33	32, 28	eqeltrrd 2914	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536   − cmin 10864   / cdiv 11291  ∗ccj 14449  ℑcim 14451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454

This theorem is referenced by:  sigarcol  43115  sharhght  43116