Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signlem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signlem0 30436
Description: Adding a zero as the highest coefficient does not change the parity of the sign changes. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signlem0 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉𝐹))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝐹,𝑛   𝑇,𝑎   𝑛,𝑏,𝑇,𝑓,𝑗
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signlem0
StepHypRef Expression
1 0re 9985 . . 3 0 ∈ ℝ
2 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
4 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
5 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
62, 3, 4, 5signsvfn 30431 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉𝐹) + if((((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
71, 6mpan2 706 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((𝑉𝐹) + if((((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)))
81ltnri 10091 . . . . 5 ¬ 0 < 0
9 neg1cn 11069 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
10 ax-1cn 9939 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
11 prssi 4326 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
129, 10, 11mp2an 707 . . . . . . . 8 {-1, 1} ⊆ ℂ
13 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
14 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
1513, 14sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
16 lennncl 13259 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
17 fzo0end 12498 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
192, 3, 4, 5signstfvcl 30422 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
2018, 19mpdan 701 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ {-1, 1})
2112, 20sseldi 3586 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ ℂ)
2221mul01d 10180 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) · 0) = 0)
2322breq1d 4628 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) · 0) < 0 ↔ 0 < 0))
248, 23mtbiri 317 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ¬ (((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) · 0) < 0)
2524iffalsed 4074 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → if((((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0) = 0)
2625oveq2d 6621 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉𝐹) + if((((𝑇𝐹)‘((#‘𝐹) − 1)) · 0) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐹) + 0))
272, 3, 4, 5signsvvf 30428 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
2827a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
2913eldifad 3572 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3028, 29ffvelrnd 6317 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11298 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℂ)
3231addid1d 10181 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → ((𝑉𝐹) + 0) = (𝑉𝐹))
337, 26, 323eqtrd 2664 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) → (𝑉‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = (𝑉𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  wss 3560  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  cop 4159   class class class wbr 4618  cmpt 4678  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cmin 10211  -cneg 10212  cn 10965  0cn0 11237  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228  sgncsgn 13755  Σcsu 14345  ndxcnx 15773  Basecbs 15776  +gcplusg 15857   Σg cgsu 16017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-word 13233  df-lsw 13234  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-sgn 13756  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mulg 17457  df-cntz 17666
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator