Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signslema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signslema 29810
Description: Computational part of signwlemn . (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signslema.1 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
signslema.2 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
signslema.3 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
signslema.4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
signslema.5 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
signslema.6 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
Assertion
Ref Expression
signslema (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))

Proof of Theorem signslema
StepHypRef Expression
1 signslema.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
21simpld 473 . . . . 5 (𝜑𝐸 < 𝐺)
32adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐸 < 𝐺)
4 signslema.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
54nn0cnd 11108 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
6 signslema.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11108 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
85, 7subcld 10143 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℂ)
9 signslema.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11108 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
11 signslema.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11108 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1310, 12subcld 10143 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℂ)
148, 13subeq0ad 10153 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ↔ (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸)))
1514biimpa 499 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸))
1615breq2d 4493 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (0 < (𝐻𝐹) ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
176nn0red 11107 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
184nn0red 11107 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
1917, 18posdifd 10363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2019adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2111nn0red 11107 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
229nn0red 11107 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
2321, 22posdifd 10363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2423adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2516, 20, 243bitr4rd 299 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺𝐹 < 𝐻))
263, 25mpbid 220 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐹 < 𝐻)
27 0red 9796 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 ∈ ℝ)
2822, 21resubcld 10209 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
3018, 17resubcld 10209 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
3130adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
322adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐸 < 𝐺)
3323adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
3432, 33mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐺𝐸))
35 2pos 10867 . . . . . . 7 0 < 2
36 breq2 4485 . . . . . . 7 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → (0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ↔ 0 < 2))
3735, 36mpbiri 246 . . . . . 6 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
3828, 30posdifd 10363 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐸) < (𝐻𝐹) ↔ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))))
3938biimpar 500 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4037, 39sylan2 489 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4127, 29, 31, 34, 40lttrd 9949 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐻𝐹))
4219adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
4341, 42mpbird 245 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐹 < 𝐻)
445, 10, 7, 12sub4d 10192 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) = ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
45 signslema.6 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
4644, 45eqeltrrd 2593 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2})
47 ovex 6454 . . . . 5 ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ V
4847elpr 4049 . . . 4 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2} ↔ (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
4946, 48sylib 206 . . 3 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
5026, 43, 49mpjaodan 822 . 2 (𝜑𝐹 < 𝐻)
511simprd 477 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5251adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5315breq2d 4493 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (2 ∥ (𝐻𝐹) ↔ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
5452, 53mtbird 313 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
55 2z 11150 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
569nn0zd 11220 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
5711nn0zd 11220 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
5856, 57zsubcld 11227 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℤ)
59 dvdsaddr 14732 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐺𝐸) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6055, 58, 59sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6151, 60mtbid 312 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
6261adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
63 2cnd 10848 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
648, 13, 63subaddd 10161 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 ↔ ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹)))
6564biimpa 499 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹))
6665breq2d 4493 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2) ↔ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
6762, 66mtbid 312 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6854, 67, 49mpjaodan 822 . 2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6950, 68jca 552 1 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  {cpr 4030   class class class wbr 4481  (class class class)co 6426  cr 9690  0cc0 9691   + caddc 9694   < clt 9829  cmin 10017  2c2 10825  0cn0 11047  cz 11118  cdvds 14690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-dvds 14691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator