Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signslema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signslema 30613
Description: Computational part of signwlemn . (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signslema.1 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
signslema.2 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
signslema.3 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
signslema.4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
signslema.5 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
signslema.6 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
Assertion
Ref Expression
signslema (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))

Proof of Theorem signslema
StepHypRef Expression
1 signslema.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
21simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝐸 < 𝐺)
32adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐸 < 𝐺)
4 signslema.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
54nn0cnd 11338 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
6 signslema.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11338 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
85, 7subcld 10377 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℂ)
9 signslema.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11338 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
11 signslema.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11338 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1310, 12subcld 10377 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℂ)
148, 13subeq0ad 10387 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ↔ (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸)))
1514biimpa 501 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐻𝐹) = (𝐺𝐸))
1615breq2d 4656 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (0 < (𝐻𝐹) ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
176nn0red 11337 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
184nn0red 11337 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
1917, 18posdifd 10599 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
2111nn0red 11337 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
229nn0red 11337 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
2321, 22posdifd 10599 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
2516, 20, 243bitr4rd 301 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (𝐸 < 𝐺𝐹 < 𝐻))
263, 25mpbid 222 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → 𝐹 < 𝐻)
27 0red 10026 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 ∈ ℝ)
2822, 21resubcld 10443 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) ∈ ℝ)
3018, 17resubcld 10443 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐻𝐹) ∈ ℝ)
322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐸 < 𝐺)
3323adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐸 < 𝐺 ↔ 0 < (𝐺𝐸)))
3432, 33mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐺𝐸))
35 2pos 11097 . . . . . . 7 0 < 2
36 breq2 4648 . . . . . . 7 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → (0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ↔ 0 < 2))
3735, 36mpbiri 248 . . . . . 6 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 → 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
3828, 30posdifd 10599 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝐸) < (𝐻𝐹) ↔ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))))
3938biimpar 502 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸))) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4037, 39sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐺𝐸) < (𝐻𝐹))
4127, 29, 31, 34, 40lttrd 10183 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 0 < (𝐻𝐹))
4219adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (𝐹 < 𝐻 ↔ 0 < (𝐻𝐹)))
4341, 42mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → 𝐹 < 𝐻)
445, 10, 7, 12sub4d 10426 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) = ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)))
45 signslema.6 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝐺) − (𝐹𝐸)) ∈ {0, 2})
4644, 45eqeltrrd 2700 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2})
47 ovex 6663 . . . . 5 ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ V
4847elpr 4189 . . . 4 (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) ∈ {0, 2} ↔ (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
4946, 48sylib 208 . . 3 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0 ∨ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2))
5026, 43, 49mpjaodan 826 . 2 (𝜑𝐹 < 𝐻)
511simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5251adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐺𝐸))
5315breq2d 4656 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → (2 ∥ (𝐻𝐹) ↔ 2 ∥ (𝐺𝐸)))
5452, 53mtbird 315 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 0) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
55 2z 11394 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
569nn0zd 11465 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
5711nn0zd 11465 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
5856, 57zsubcld 11472 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝐸) ∈ ℤ)
59 dvdsaddr 15006 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐺𝐸) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6055, 58, 59sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∥ (𝐺𝐸) ↔ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2)))
6151, 60mtbid 314 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
6261adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2))
63 2cnd 11078 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
648, 13, 63subaddd 10395 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2 ↔ ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹)))
6564biimpa 501 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ((𝐺𝐸) + 2) = (𝐻𝐹))
6665breq2d 4656 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → (2 ∥ ((𝐺𝐸) + 2) ↔ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
6762, 66mtbid 314 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐻𝐹) − (𝐺𝐸)) = 2) → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6854, 67, 49mpjaodan 826 . 2 (𝜑 → ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹))
6950, 68jca 554 1 (𝜑 → (𝐹 < 𝐻 ∧ ¬ 2 ∥ (𝐻𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  {cpr 4170   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921   + caddc 9924   < clt 10059  cmin 10251  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  cdvds 14964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-dvds 14965
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator