Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsply0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsply0 30450
Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐵 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b 𝐵 = (𝐶𝐷)
signsply0.a 𝐴 = (𝐶‘0)
signsply0.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
signsply0.2 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
signsply0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
signsply0 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 791 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
3 rpxr 11800 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ*)
4 xrleid 11943 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ*𝑑𝑑)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑𝑑)
65ad2antlr 762 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑𝑑)
7 id 22 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)
8 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → 𝑓 = 𝑑)
98breq2d 4635 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝑑𝑓𝑑𝑑))
108fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝐹𝑓) = (𝐹𝑑))
118oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝑓𝐷) = (𝑑𝐷))
1210, 11oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) = ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
1312oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵) = (((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵))
1413fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) = (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)))
1514breq1d 4633 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
169, 15imbi12d 334 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) ↔ (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
177, 16rspcdv 3302 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
181, 2, 6, 17syl3c 66 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)
19 signsply0.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
2019ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
21 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2221rpred 11832 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
2320, 22plyrecld 30448 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑑) ∈ ℝ)
24 signsply0.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (deg‘𝐹)
25 dgrcl 23927 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2724, 26syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
2827ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
2922, 28reexpcld 12981 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ)
3021rpcnd 11834 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
3121rpne0d 11837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
3227nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
3332ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
3430, 31, 33expne0d 12970 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ≠ 0)
3523, 29, 34redivcld 10813 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∈ ℝ)
36 signsply0.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (𝐶𝐷)
37 0re 10000 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
38 signsply0.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (coeff‘𝐹)
3938coef2 23925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
4037, 39mpan2 706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
4140ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
4236, 41syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
4319, 27, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4443ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4544renegcld 10417 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ)
4635, 44, 45absdifltd 14122 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ ((𝐵 − -𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∧ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))))
4746simplbda 653 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))
4843recnd 10028 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4948ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
5049negidd 10342 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
5150adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
5247, 51breqtrd 4649 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0)
5321, 33rpexpcld 12988 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ+)
5423, 53ge0divd 11870 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐹𝑑) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
5554notbid 308 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (¬ 0 ≤ (𝐹𝑑) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
56 0red 10001 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
5723, 56ltnled 10144 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐹𝑑)))
5835, 56ltnled 10144 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
5955, 57, 583bitr4d 300 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0))
6059adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0))
6152, 60mpbird 247 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐹𝑑) < 0)
6218, 61syldan 487 . . . 4 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (𝐹𝑑) < 0)
63 0red 10001 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 ∈ ℝ)
64 simplr 791 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6564rpred 11832 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ)
6664rpgt0d 11835 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < 𝑑)
67 iccssre 12213 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
6837, 65, 67sylancr 694 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
69 ax-resscn 9953 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
7068, 69syl6ss 3600 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
71 plycn 23955 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7219, 71syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7372ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7419ad4antr 767 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
7568sselda 3588 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7674, 75plyrecld 30448 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
77 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (𝐹𝑑) < 0)
78 simplll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝜑)
7978, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
80 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ+)
8180ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
82 negelrp 11824 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
8382biimpa 501 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 < 0)
8479, 81, 83syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐵 < 0)
85 signsply0.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝐶‘0)
8619, 37, 39sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶:ℕ0⟶ℝ)
87 0nn0 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
8986, 88ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
9085, 89syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
91 signsply0.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9290, 43, 91mul2lt0rlt0 11892 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
9392, 85syl6breq 4664 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < (𝐶‘0))
9478, 84, 93syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < (𝐶‘0))
9538coefv0 23942 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9619, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9796ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9894, 97breqtrrd 4651 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < (𝐹‘0))
9977, 98jca 554 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ((𝐹𝑑) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘0)))
10063, 65, 63, 66, 70, 73, 76, 99ivth2 23164 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0)
101 0le0 11070 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
102 pnfge 11924 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ*𝑑 ≤ +∞)
1033, 102syl 17 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ≤ +∞)
104 0xr 10046 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
105 pnfxr 10052 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
106 ioossioo 12223 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
107104, 105, 106mpanl12 717 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
108101, 103, 107sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
109 ioorp 12209 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
110108, 109syl6sseq 3636 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ ℝ+)
111 ssrexv 3652 . . . . . 6 ((0(,)𝑑) ⊆ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
11264, 110, 1113syl 18 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
113100, 112mpd 15 . . . 4 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
11462, 113syldan 487 . . 3 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
115 plyf 23892 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11619, 115syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
117 ffn 6012 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
118116, 117syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
119 ovex 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷) ∈ V
120119rgenw 2920 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V
121 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
122121fnmpt 5987 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) Fn ℝ+)
123120, 122mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) Fn ℝ+)
124 cnex 9977 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
125124a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ V)
126 rpssre 11803 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℝ
127126, 69sstri 3597 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
128124, 127ssexi 4773 . . . . . . . . . 10 + ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
130 sseqin2 3801 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
131127, 130mpbi 220 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
132 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℂ) → (𝐹𝑓) = (𝐹𝑓))
133 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)))
134 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → 𝑥 = 𝑓)
135134oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → (𝑥𝐷) = (𝑓𝐷))
136 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℝ+)
137 ovexd 6645 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ∈ V)
138133, 135, 136, 137fvmptd 6255 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))‘𝑓) = (𝑓𝐷))
139118, 123, 125, 129, 131, 132, 138offval 6869 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))))
140 oveq1 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥𝐷) = (𝑓𝐷))
141140cbvmptv 4720 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓𝐷))
14224, 38, 36, 141signsplypnf 30449 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
14319, 142syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
144139, 143eqbrtrrd 4647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
145116adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
146136rpcnd 11834 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℂ)
147145, 146ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑓) ∈ ℂ)
14827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
149146, 148expcld 12964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ∈ ℂ)
150136rpne0d 11837 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ≠ 0)
15132adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
152146, 150, 151expne0d 12970 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ≠ 0)
153147, 149, 152divcld 10761 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) ∈ ℂ)
154153ralrimiva 2962 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) ∈ ℂ)
155126a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
156 1red 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
157154, 155, 48, 156rlim3 14179 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
158144, 157mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
159 0lt1 10510 . . . . . . . . . 10 0 < 1
160 pnfge 11924 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
161105, 160ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 +∞ ≤ +∞
162 icossioo 12222 . . . . . . . . . 10 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
163104, 105, 159, 161, 162mp4an 708 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
164163, 109sseqtri 3622 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
165 ssrexv 3652 . . . . . . . 8 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
167166ralimi 2948 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
168158, 167syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
169168adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
170 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → 𝑒 = -𝐵)
171170breq2d 4635 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
172171imbi2d 330 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
173172rexralbidv 3053 . . . . 5 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
17480, 173rspcdv 3302 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
175169, 174mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
176114, 175r19.29a 3073 . 2 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
177 simplr 791 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
178 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
1795ad2antlr 762 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑𝑑)
18014breq1d 4633 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
1819, 180imbi12d 334 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) ↔ (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
1827, 181rspcdv 3302 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
183177, 178, 179, 182syl3c 66 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)
18448ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
185184subidd 10340 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐵) = 0)
186185adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵𝐵) = 0)
18719ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
188126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ+ ⊆ ℝ)
189188sselda 3588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
190187, 189plyrecld 30448 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑑) ∈ ℝ)
19127ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
192189, 191reexpcld 12981 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ)
193189recnd 10028 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
194 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
195194rpne0d 11837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
19632ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
197193, 195, 196expne0d 12970 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ≠ 0)
198190, 192, 197redivcld 10813 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∈ ℝ)
19943ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
200198, 199, 199absdifltd 14122 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((𝐵𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∧ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + 𝐵))))
201200simprbda 652 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
202186, 201eqbrtrrd 4647 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
203194, 196rpexpcld 12988 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ+)
204190, 203gt0divd 11869 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 < (𝐹𝑑) ↔ 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
205204adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (0 < (𝐹𝑑) ↔ 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
206202, 205mpbird 247 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < (𝐹𝑑))
207183, 206syldan 487 . . . 4 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 0 < (𝐹𝑑))
208 0red 10001 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
209 simplr 791 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
210209rpred 11832 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
211209rpgt0d 11835 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < 𝑑)
21237, 210, 67sylancr 694 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
213212, 69syl6ss 3600 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
21472ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
21519ad4antr 767 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
216212sselda 3588 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
217215, 216plyrecld 30448 . . . . . 6 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
21896ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
219 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝜑)
220 simpr1 1065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹𝑑))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
221220rpgt0d 11835 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹𝑑))) → 0 < 𝐵)
2222213anassrs 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < 𝐵)
22390, 43, 91mul2lt0rgt0 11893 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
224219, 222, 223syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝐴 < 0)
22585, 224syl5eqbrr 4659 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐶‘0) < 0)
226218, 225eqbrtrd 4645 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐹‘0) < 0)
227 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < (𝐹𝑑))
228226, 227jca 554 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ((𝐹‘0) < 0 ∧ 0 < (𝐹𝑑)))
229208, 210, 208, 211, 213, 214, 217, 228ivth 23163 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0)
230209, 110, 1113syl 18 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
231229, 230mpd 15 . . . 4 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
232207, 231syldan 487 . . 3 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
233168adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
234 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
235 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → 𝑒 = 𝐵)
236235breq2d 4635 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
237236imbi2d 330 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
238237rexralbidv 3053 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
239234, 238rspcdv 3302 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
240233, 239mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
241232, 240r19.29a 3073 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
242 signsply0.2 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
24324, 38dgreq0 23959 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) = 0))
24419, 243syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) = 0))
245244necon3bid 2834 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) ≠ 0))
246242, 245mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) ≠ 0)
24736neeq1i 2854 . . . 4 (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝐶𝐷) ≠ 0)
248246, 247sylibr 224 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
249 rpneg 11823 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐵 ∈ ℝ+))
250249biimprd 238 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ -𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
251250orrd 393 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
25243, 248, 251syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
253176, 241, 252mpjaodan 826 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  cin 3559  wss 3560   class class class wbr 4623  cmpt 4683   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑓 cof 6860  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  0cn0 11252  cz 11337  +crp 11792  (,)cioo 12133  [,)cico 12135  [,]cicc 12136  cexp 12816  abscabs 13924  𝑟 crli 14166  cnccncf 22619  0𝑝c0p 23376  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-0p 23377  df-limc 23570  df-dv 23571  df-ply 23882  df-coe 23884  df-dgr 23885  df-log 24241  df-cxp 24242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator