Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsplypnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsplypnf 30755
Description: The quotient of a polynomial 𝐹 by a monic monomial of same degree 𝐺 converges to the highest coefficient of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b 𝐵 = (𝐶𝐷)
signsplypnf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
Assertion
Ref Expression
signsplypnf (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem signsplypnf
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 23999 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2 ffn 6083 . . . . 5 (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 Fn ℂ)
4 ovex 6718 . . . . . 6 (𝑥𝐷) ∈ V
54rgenw 2953 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V
6 signsplypnf.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
76fnmpt 6058 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V → 𝐺 Fn ℝ+)
85, 7mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐺 Fn ℝ+)
9 cnex 10055 . . . . 5 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℂ ∈ V)
11 reex 10065 . . . . . 6 ℝ ∈ V
12 rpssre 11881 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1311, 12ssexi 4836 . . . . 5 + ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ∈ V)
15 ax-resscn 10031 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1612, 15sstri 3645 . . . . 5 + ⊆ ℂ
17 sseqin2 3850 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
1816, 17mpbi 220 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
19 signsply0.c . . . . 5 𝐶 = (coeff‘𝐹)
20 signsply0.d . . . . 5 𝐷 = (deg‘𝐹)
2119, 20coeid2 24040 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)))
226fvmpt2 6330 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥𝐷) ∈ V) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
234, 22mpan2 707 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
2423adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑥) = (𝑥𝐷))
253, 8, 10, 14, 18, 21, 24offval 6946 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
26 fzfid 12812 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) ∈ Fin)
2716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℂ)
2827sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
29 dgrcl 24034 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3020, 29syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3228, 31expcld 13048 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
3319coef3 24033 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
3433ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
35 elfznn0 12471 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3635adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3734, 36ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
3828adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3938, 36expcld 13048 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
4037, 39mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) ∈ ℂ)
41 rpne0 11886 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
4241adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
4330nn0zd 11518 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ ℤ)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
4528, 42, 44expne0d 13054 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
4626, 32, 40, 45fsumdivc 14562 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))
47 fzodisj 12541 . . . . . . . 8 ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ∅
48 fzosn 12578 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷..^(𝐷 + 1)) = {𝐷})
4948ineq2d 3847 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ (𝐷..^(𝐷 + 1))) = ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}))
5047, 49syl5reqr 2700 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
5144, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((0..^𝐷) ∩ {𝐷}) = ∅)
52 fzval3 12576 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
5343, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = (0..^(𝐷 + 1)))
54 nn0uz 11760 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
5530, 54syl6eleq 2740 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐷 ∈ (ℤ‘0))
56 fzosplitsn 12616 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^(𝐷 + 1)) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5853, 57eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
5958adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0...𝐷) = ((0..^𝐷) ∪ {𝐷}))
6032adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
6142adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝑥 ≠ 0)
6244adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
6338, 61, 62expne0d 13054 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
6440, 60, 63divcld 10839 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝐷)) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
6551, 59, 26, 64fsumsplit 14515 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6646, 65eqtrd 2685 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))))
6766mpteq2dva 4777 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝐷)((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
6825, 67eqtrd 2685 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))))
69 sumex 14462 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
7069a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
71 sumex 14462 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V
7271a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7312a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ℝ+ ⊆ ℝ)
74 fzofi 12813 . . . . . . 7 (0..^𝐷) ∈ Fin
7574a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0..^𝐷) ∈ Fin)
76 ovexd 6720 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ (0..^𝐷))) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
7733ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
78 elfzonn0 12552 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7978ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8077, 79ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
8128adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
8281, 79expcld 13048 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
8332adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ∈ ℂ)
8441adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
8544adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
8681, 84, 85expne0d 13054 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐷) ≠ 0)
8780, 82, 83, 86divassd 10874 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
8887mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))))
89 fvexd 6241 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑘) ∈ V)
90 ovexd 6720 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)) ∈ V)
9133adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐶:ℕ0⟶ℂ)
9278adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9391, 92ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐶𝑘) ∈ ℂ)
94 rlimconst 14319 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝑘) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9512, 93, 94sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝑘)) ⇝𝑟 (𝐶𝑘))
9679nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℤ)
9785, 96zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷𝑘) ∈ ℤ)
9881, 84, 97cxpexpzd 24502 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑐(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝐷𝑘)))
9998oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
10081, 84, 97expnegd 13055 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (1 / (𝑥↑(𝐷𝑘))))
10185zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
10279nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℂ)
103101, 102negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(𝐷𝑘) = (𝑘𝐷))
104103oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑-(𝐷𝑘)) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10599, 100, 1043eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = (𝑥↑(𝑘𝐷)))
10681, 84, 85, 96expsubd 13059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑(𝑘𝐷)) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
107105, 106eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘))) = ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))
108107mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))))
10992nn0red 11390 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 ∈ ℝ)
11030adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
111110nn0red 11390 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
112 elfzolt2 12518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0..^𝐷) → 𝑘 < 𝐷)
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → 𝑘 < 𝐷)
114 difrp 11906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝐷 ↔ (𝐷𝑘) ∈ ℝ+))
115114biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 < 𝐷) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
116109, 111, 113, 115syl21anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ+)
117 cxplim 24743 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑥𝑐(𝐷𝑘)))) ⇝𝑟 0)
119108, 118eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12089, 90, 95, 119rlimmul 14419 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 ((𝐶𝑘) · 0))
12193mul01d 10273 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → ((𝐶𝑘) · 0) = 0)
122120, 121breqtrd 4711 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶𝑘) · ((𝑥𝑘) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 0)
12388, 122eqbrtrd 4707 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝐷)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12473, 75, 76, 123fsumrlim 14587 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0)
12575olcd 407 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → ((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin))
126 sumz 14497 . . . . . 6 (((0..^𝐷) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0..^𝐷) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
127125, 126syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)0 = 0)
128124, 127breqtrd 4711 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 0)
12933, 30ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
130129adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
131130, 32mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
132131, 32, 45divcld 10839 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ)
133 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝐷))
134 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝐷))
135133, 134oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐷 → ((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)))
136135oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐷 → (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
137136sumsn 14519 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
13831, 132, 137syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)))
139130, 32, 45divcan4d 10845 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐶𝐷) · (𝑥𝐷)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
140138, 139eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) = (𝐶𝐷))
141140mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)))
142 rlimconst 14319 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14312, 129, 142sylancr 696 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶𝐷)) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
144141, 143eqbrtrd 4707 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 (𝐶𝐷))
14570, 72, 128, 144rlimadd 14417 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 (0 + (𝐶𝐷)))
146129addid2d 10275 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = (𝐶𝐷))
147 signsply0.b . . . 4 𝐵 = (𝐶𝐷)
148146, 147syl6eqr 2703 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (0 + (𝐶𝐷)) = 𝐵)
149145, 148breqtrd 4711 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0..^𝐷)(((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)) + Σ𝑘 ∈ {𝐷} (((𝐶𝑘) · (𝑥𝑘)) / (𝑥𝐷)))) ⇝𝑟 𝐵)
15068, 149eqbrtrd 4707 1 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹𝑓 / 𝐺) ⇝𝑟 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  cexp 12900  𝑟 crli 14260  Σcsu 14460  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  signsply0  30756
  Copyright terms: Public domain W3C validator