Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstf0 30467
Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf0 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0
StepHypRef Expression
1 s1len 13340 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐾”⟩) = 1
21oveq2i 6626 . . . . 5 (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3 fzo01 12507 . . . . 5 (0..^1) = {0}
42, 3eqtri 2643 . . . 4 (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
54a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)))
76, 4syl6eleq 2708 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8 velsn 4171 . . . . 5 (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
97, 8sylib 208 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11 0z 11348 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
12 fzsn 12341 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...0) = {0}
1410, 13syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
1514mpteq1d 4708 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
1615oveq2d 6631 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18 signsv.p . . . . . . . . 9 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19 signsv.w . . . . . . . . 9 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
2018, 19signswmnd 30456 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ Mnd
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22 0re 10000 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24 s1fv 13345 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
2726rexrd 10049 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28 sgncl 30423 . . . . . . . 8 ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
3018, 19signswbase 30453 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31 fveq2 6158 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (⟨“𝐾”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
3231fveq2d 6162 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3330, 32gsumsn 18294 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3421, 23, 29, 33syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3534adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3624fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
3817, 35, 373eqtrd 2659 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
399, 38syldan 487 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
405, 39mpteq12dva 4702 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
41 s1cl 13337 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
42 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
43 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
4418, 19, 42, 43signstfv 30462 . . 3 (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
4541, 44syl 17 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
46 sgnclre 30424 . . . 4 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
47 s1val 13333 . . . 4 ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
4846, 47syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
49 fmptsn 6398 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5022, 46, 49sylancr 694 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5148, 50eqtrd 2655 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5240, 45, 513eqtr4d 2665 1 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  ifcif 4064  {csn 4155  {cpr 4157  {ctp 4159  cop 4161  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  *cxr 10033  cmin 10226  -cneg 10227  cz 11337  ...cfz 12284  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246  ⟨“cs1 13249  sgncsgn 13776  Σcsu 14366  ndxcnx 15797  Basecbs 15800  +gcplusg 15881   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-word 13254  df-s1 13257  df-sgn 13777  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mulg 17481  df-cntz 17690
This theorem is referenced by:  signsvtn0  30469  signstfvneq0  30471
  Copyright terms: Public domain W3C validator