signstfveq0 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem signstfveq0 31849

Description: In case the last letter is zero, the zero skipping sign is the same as the previous letter. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
signstfveq0	⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏, ⨣ 𝑓,𝑖,𝑛,𝐹 𝑓,𝑊,𝑖,𝑛 𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛 𝑁,𝑎 𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁 𝑇,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝐹(𝑗) 𝑁(𝑗) 𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏) 𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem signstfveq0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	eldifad 3950	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3		pfxcl 14041	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ)
5		1nn0 11916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ₀)
7	6	nn0red 11959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
8		2re 11714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
10		signstfveq0.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
11		lencl 13885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
13	10, 12	eqeltrid 2919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
14	13	nn0red 11959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		1le2 11849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 2)
17		signsv.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
18		signsv.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
19		signsv.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
20		signsv.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
21	17, 18, 19, 20, 10	signstfveq0a 31848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
22		eluz2 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
23	21, 22	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
24	23	simp3d 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ≤ 𝑁)
25	7, 9, 14, 16, 24	letrd 10799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 𝑁)
26		fznn0 13002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
27	13, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ₀ ∧ 1 ≤ 𝑁)))
28	6, 25, 27	mpbir2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ (0...𝑁))
29		fznn0sub2 13017	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
31	10	oveq2i 7169	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹))
32	30, 31	eleqtrdi 2925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
33		pfxlen 14047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
34	2, 32, 33	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
35		uz2m1nn 12326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
36	21, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
37	34, 36	eqeltrd 2915	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
38		nnne0 11674	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0)
39		fveq2 6672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = (♯‘∅))
40		hash0 13731	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
41	39, 40	syl6eq 2874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = ∅ → (♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) = 0)
42	41	necon3i 3050	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ≠ 0 → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
43	38, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) ∈ ℕ → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
44	37, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅)
45		eldifsn 4721	. . . 4 ⊢ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ≠ ∅))
46	4, 44, 45	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
47		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
48		0re 10645	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
49	47, 48	eqeltrdi 2923	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
50	17, 18, 19, 20	signstfvn 31841	. . 3 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
51	46, 49, 50	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
52	10	oveq1i 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
53	52	oveq2i 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1))
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 prefix (𝑁 − 1)) = (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)))
55		lsw 13918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
56	55	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
57	10	eqcomi 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
58	57	oveq1i 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) − 1) = (𝑁 − 1)
59	58	fveq2i 6675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘(𝑁 − 1))
60	56, 59	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘(𝑁 − 1)))
61	60	s1eqd 13957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)
62	61	eqcomd 2829	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
63	54, 62	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
64		eldifsn 4721	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
65	1, 64	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
66		pfxlswccat 14077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
67	65, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
68	63, 67	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = 𝐹)
69	68	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)) = (𝑇‘𝐹))
70	69, 34	fveq12d 6679	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)))
71	13	nn0cnd 11960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
72		1cnd 10638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
73	71, 72, 72	subsub4d 11030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
74		1p1e2 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
75	74	oveq2i 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
76	73, 75	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
77		fzo0end 13132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
78	36, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
79	76, 78	eqeltrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
80	34	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))) = (0..^(𝑁 − 1)))
81	79, 80	eleqtrrd 2918	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))))
82	17, 18, 19, 20	signstfvp 31843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))))) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
83	4, 49, 81, 82	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
84	68	eqcomd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
85	84	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
86	85	fveq1d 6674	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘((𝐹 prefix (𝑁 − 1)) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)))
87	34	oveq1d 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
88	87, 73	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
89	88, 75	syl6eq 2874	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1) = (𝑁 − 2))
90	89	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘(𝑁 − 2)))
91	83, 86, 90	3eqtr4rd 2869	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
92		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘0))
93		sgn0 14450	. . . . . 6 ⊢ (sgn‘0) = 0
94	92, 93	syl6eq 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
95	94	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
96	91, 95	oveq12d 7176	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0))
97		uznn0sub 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
98	21, 97	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
99		eluz2nn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
100	21, 99	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
101		2rp 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
102	101	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ⁺)
103	14, 102	ltsubrpd 12466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) < 𝑁)
104		elfzo0 13081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) < 𝑁))
105	98, 100, 103, 104	syl3anbrc 1339	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁))
106	10	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
107	105, 106	eleqtrdi 2925	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
108	17, 18, 19, 20	signstcl 31837	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
109	2, 107, 108	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
110	17, 18	signswrid 31830	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1} → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
111	109, 110	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)) ⨣ 0) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
112	96, 111	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1)))‘((♯‘(𝐹 prefix (𝑁 − 1))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))
113	51, 70, 112	3eqtr3d 2866	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3018 ∖ cdif 3935 ∅c0 4293 ifcif 4469 {csn 4569 {cpr 4571 {ctp 4573 ⟨cop 4575 class class class wbr 5068 ↦ cmpt 5148 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 ∈ cmpo 7160 ℝcr 10538 0cc0 10539 1c1 10540 + caddc 10542 < clt 10677 ≤ cle 10678 − cmin 10872 -cneg 10873 ℕcn 11640 2c2 11695 ℕ₀cn0 11900 ℤcz 11984 ℤ_≥cuz 12246 ℝ⁺crp 12392 ...cfz 12895 ..^cfzo 13036 ♯chash 13693 Word cword 13864 lastSclsw 13916 ++ cconcat 13924 ⟨“cs1 13951 prefix cpfx 14034 sgncsgn 14447 Σcsu 15044 ndxcnx 16482 Basecbs 16485 +_gcplusg 16567 Σ_g cgsu 16716

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-rep 5192 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-int 4879 df-iun 4923 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-1o 8104 df-oadd 8108 df-er 8291 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-fin 8515 df-card 9370 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-nn 11641 df-2 11703 df-n0 11901 df-xnn0 11971 df-z 11985 df-uz 12247 df-rp 12393 df-fz 12896 df-fzo 13037 df-seq 13373 df-hash 13694 df-word 13865 df-lsw 13917 df-concat 13925 df-s1 13952 df-substr 14005 df-pfx 14035 df-sgn 14448 df-struct 16487 df-ndx 16488 df-slot 16489 df-base 16491 df-plusg 16580 df-0g 16717 df-gsum 16718 df-mgm 17854 df-sgrp 17903 df-mnd 17914

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