Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfveq0 30426
Description: In case the last letter is zero, the zero skipping sign is the same as the previous letter. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1 𝑁 = (#‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
signstfveq0 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfveq0
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21eldifad 3572 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 swrdcl 13352 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
5 1nn0 11253 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ0)
76nn0red 11297 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
8 2re 11035 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
10 signstfveq0.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (#‘𝐹)
11 lencl 13258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word ℝ → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
1310, 12syl5eqel 2708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1413nn0red 11297 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 1le2 11186 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 2)
17 signsv.p . . . . . . . . . . . . . 14 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
18 signsv.w . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
19 signsv.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
20 signsv.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
2117, 18, 19, 20, 10signstfveq0a 30425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
22 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2321, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2423simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ≤ 𝑁)
257, 9, 14, 16, 24letrd 10139 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 𝑁)
26 fznn0 12370 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁)))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁)))
286, 25, 27mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ (0...𝑁))
29 fznn0sub2 12384 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
3110oveq2i 6616 . . . . . . . 8 (0...𝑁) = (0...(#‘𝐹))
3230, 31syl6eleq 2714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...(#‘𝐹)))
33 swrd0len 13355 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (𝑁 − 1))
342, 32, 33syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (𝑁 − 1))
35 uz2m1nn 11707 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3621, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3734, 36eqeltrd 2704 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ)
38 nnne0 10998 . . . . . 6 ((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ → (#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ≠ 0)
39 fveq2 6150 . . . . . . . 8 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = ∅ → (#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (#‘∅))
40 hash0 13095 . . . . . . . 8 (#‘∅) = 0
4139, 40syl6eq 2676 . . . . . . 7 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = ∅ → (#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = 0)
4241necon3i 2828 . . . . . 6 ((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ≠ 0 → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
4338, 42syl 17 . . . . 5 ((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
4437, 43syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
45 eldifsn 4292 . . . 4 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅))
464, 44, 45sylanbrc 697 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
47 simpr 477 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
48 0re 9985 . . . 4 0 ∈ ℝ
4947, 48syl6eqel 2712 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
5017, 18, 19, 20signstfvn 30418 . . 3 (((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
5146, 49, 50syl2anc 692 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
5210oveq1i 6615 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((#‘𝐹) − 1)
5352opeq2i 4379 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑁 − 1)⟩ = ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩
5453oveq2i 6616 . . . . . . 7 (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = (𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩)
5554a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = (𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩))
56 lsw 13285 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ( lastS ‘𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
5756ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ( lastS ‘𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
5810eqcomi 2635 . . . . . . . . . . 11 (#‘𝐹) = 𝑁
5958oveq1i 6615 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) − 1) = (𝑁 − 1)
6059fveq2i 6153 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘(𝑁 − 1))
6157, 60syl6eq 2676 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ( lastS ‘𝐹) = (𝐹‘(𝑁 − 1)))
6261s1eqd 13315 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)
6362eqcomd 2632 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩)
6455, 63oveq12d 6623 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩))
65 eldifsn 4292 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
661, 65sylib 208 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
67 swrdccatwrd 13401 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
6866, 67syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
6964, 68eqtrd 2660 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = 𝐹)
7069fveq2d 6154 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)) = (𝑇𝐹))
7170, 34fveq12d 6156 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)))
7213nn0cnd 11298 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
73 1cnd 10001 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
7472, 73, 73subsub4d 10368 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
75 1p1e2 11079 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
7675oveq2i 6616 . . . . . . . . 9 (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
7774, 76syl6eq 2676 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
78 fzo0end 12498 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7936, 78syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8077, 79eqeltrrd 2705 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8134oveq2d 6621 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (0..^(#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (0..^(𝑁 − 1)))
8280, 81eleqtrrd 2707 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))))
8317, 18, 19, 20signstfvp 30420 . . . . . 6 (((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)))) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
844, 49, 82, 83syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
8569eqcomd 2632 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 = ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
8685fveq2d 6154 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
8786fveq1d 6152 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)))
8834oveq1d 6620 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
8988, 74eqtrd 2660 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
9089, 76syl6eq 2676 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = (𝑁 − 2))
9190fveq2d 6154 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
9284, 87, 913eqtr4rd 2671 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
93 fveq2 6150 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘0))
94 sgn0 13758 . . . . . 6 (sgn‘0) = 0
9593, 94syl6eq 2676 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
9695adantl 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
9792, 96oveq12d 6623 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0))
98 uznn0sub 11663 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
9921, 98syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
100 eluz2nn 11670 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
10121, 100syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
102 2rp 11781 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ+)
10414, 103ltsubrpd 11848 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) < 𝑁)
105 elfzo0 12446 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) < 𝑁))
10699, 101, 104, 105syl3anbrc 1244 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁))
10710oveq2i 6616 . . . . . 6 (0..^𝑁) = (0..^(#‘𝐹))
108106, 107syl6eleq 2714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
10917, 18, 19, 20signstcl 30414 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
1102, 108, 109syl2anc 692 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
11117, 18signswrid 30407 . . . 4 (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1} → (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
112110, 111syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
11397, 112eqtrd 2660 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((#‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
11451, 71, 1133eqtr3d 2668 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  cop 4159   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  -cneg 10212  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  +crp 11776  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   lastS clsw 13226   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228   substr csubstr 13229  sgncsgn 13755  Σcsu 14345  ndxcnx 15773  Basecbs 15776  +gcplusg 15857   Σg cgsu 16017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-word 13233  df-lsw 13234  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-sgn 13756  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator