Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvp 30428
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvp ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvp
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
21adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 s1cl 13321 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
433ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
54adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
6 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
7 fzssfzo 30394 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
98sselda 3583 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
10 ccatval1 13300 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
112, 5, 9, 10syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
1211fveq2d 6152 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹𝑖)))
1312mpteq2dva 4704 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
1413oveq2d 6620 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
15 ccatcl 13298 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
161, 4, 15syl2anc 692 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
17 lencl 13263 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 11424 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
19 uzid 11646 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (#‘𝐹) ∈ (ℤ‘(#‘𝐹)))
20 peano2uz 11685 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ‘(#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝐹)))
21 fzoss2 12437 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝐹)) → (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^((#‘𝐹) + 1)))
2218, 19, 20, 214syl 19 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^((#‘𝐹) + 1)))
23223ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^((#‘𝐹) + 1)))
2423, 6sseldd 3584 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^((#‘𝐹) + 1)))
25 ccatlen 13299 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“𝐾”⟩)))
261, 4, 25syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“𝐾”⟩)))
27 s1len 13324 . . . . . . 7 (#‘⟨“𝐾”⟩) = 1
2827oveq2i 6615 . . . . . 6 ((#‘𝐹) + (#‘⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1)
2926, 28syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1))
3029oveq2d 6620 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
3124, 30eleqtrrd 2701 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
32 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
33 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
34 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
35 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
3632, 33, 34, 35signstfval 30421 . . 3 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
3716, 31, 36syl2anc 692 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
3832, 33, 34, 35signstfval 30421 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
391, 6, 38syl2anc 692 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
4014, 37, 393eqtr4d 2665 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3555  ifcif 4058  {cpr 4150  {ctp 4152  cop 4154  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  -cneg 10211  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233  sgncsgn 13760  Σcsu 14350  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862   Σg cgsu 16022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241
This theorem is referenced by:  signstfvneq0  30429  signstfvc  30431  signstfveq0  30434  signsvfn  30439
  Copyright terms: Public domain W3C validator