Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstres 30474
 Description: Restriction of a zero skipping sign to a subword. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstres ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑁,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstres
Dummy variables 𝑔 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . . . . 8 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . . . . . 8 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
3 signsv.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
4 signsv.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
51, 2, 3, 4signstf 30465 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) ∈ Word ℝ)
6 wrdf 13265 . . . . . . 7 ((𝑇𝐹) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹):(0..^(#‘(𝑇𝐹)))⟶ℝ)
7 ffn 6012 . . . . . . 7 ((𝑇𝐹):(0..^(#‘(𝑇𝐹)))⟶ℝ → (𝑇𝐹) Fn (0..^(#‘(𝑇𝐹))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) Fn (0..^(#‘(𝑇𝐹))))
91, 2, 3, 4signstlen 30466 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (#‘(𝑇𝐹)) = (#‘𝐹))
109oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(#‘(𝑇𝐹))) = (0..^(#‘𝐹)))
1110fneq2d 5950 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇𝐹) Fn (0..^(#‘(𝑇𝐹))) ↔ (𝑇𝐹) Fn (0..^(#‘𝐹))))
128, 11mpbid 222 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) Fn (0..^(#‘𝐹)))
13 fnresin 29315 . . . . 5 ((𝑇𝐹) Fn (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)))
1514adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)))
16 elfzuz3 12297 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
17 fzoss2 12453 . . . . . 6 ((#‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
1918adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
20 incom 3789 . . . . . 6 ((0..^𝑁) ∩ (0..^(#‘𝐹))) = ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁))
21 df-ss 3574 . . . . . . 7 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) ↔ ((0..^𝑁) ∩ (0..^(#‘𝐹))) = (0..^𝑁))
2221biimpi 206 . . . . . 6 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∩ (0..^(#‘𝐹))) = (0..^𝑁))
2320, 22syl5eqr 2669 . . . . 5 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
2423fneq2d 5950 . . . 4 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁)))
2519, 24syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(#‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁)))
2615, 25mpbid 222 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
27 wrdres 30439 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ)
281, 2, 3, 4signstf 30465 . . . 4 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) ∈ Word ℝ)
29 wrdf 13265 . . . 4 ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))):(0..^(#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))⟶ℝ)
30 ffn 6012 . . . 4 ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))):(0..^(#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))⟶ℝ → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^(#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))))
3127, 28, 29, 304syl 19 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^(#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))))
321, 2, 3, 4signstlen 30466 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ → (#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
3327, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
34 wrdfn 13274 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
35 fnssres 5972 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)) ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
3634, 18, 35syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
37 hashfn 13120 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = (#‘(0..^𝑁)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = (#‘(0..^𝑁)))
39 elfznn0 12390 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 hashfzo0 13173 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)) → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
4241adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
4333, 38, 423eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = 𝑁)
4443oveq2d 6631 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (0..^(#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))) = (0..^𝑁))
4544fneq2d 5950 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^(#‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))) ↔ (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^𝑁)))
4631, 45mpbid 222 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^𝑁))
47 fvres 6174 . . . . 5 (𝑚 ∈ (0..^𝑁) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇𝐹)‘𝑚))
4847ad3antlr 766 . . . 4 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇𝐹)‘𝑚))
49 simpr 477 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))
5049fveq2d 6162 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)))
5150fveq1d 6160 . . . 4 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → ((𝑇𝐹)‘𝑚) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))‘𝑚))
5227ad3antrrr 765 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ)
53 simplr 791 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → 𝑔 ∈ Word ℝ)
5438, 42eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
5554oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (0..^𝑁))
5655eleq2d 2684 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝑚 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) ↔ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)))
5756biimpar 502 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))
5857ad2antrr 761 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → 𝑚 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))
591, 2, 3, 4signstfvc 30473 . . . . 5 (((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ ∧ 𝑚 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
6052, 53, 58, 59syl3anc 1323 . . . 4 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
6148, 51, 603eqtrd 2659 . . 3 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
62 wrdsplex 30440 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → ∃𝑔 ∈ Word ℝ𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))
6362adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑔 ∈ Word ℝ𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))
6461, 63r19.29a 3073 . 2 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
6526, 46, 64eqfnfvd 6280 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2909   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ifcif 4064  {cpr 4157  {ctp 4159  ⟨cop 4161   ↦ cmpt 4683   ↾ cres 5086   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↦ cmpt2 6617  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   − cmin 10226  -cneg 10227  ℕ0cn0 11252  ℤ≥cuz 11647  ...cfz 12284  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246   ++ cconcat 13248  sgncsgn 13776  Σcsu 14366  ndxcnx 15797  Basecbs 15800  +gcplusg 15881   Σg cgsu 16041 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-sgn 13777  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator