Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvf0 30455
 Description: There is no change of sign in the empty word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvf0 (𝑉‘∅) = 0
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝑗   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvf0
StepHypRef Expression
1 wrd0 13276 . . 3 ∅ ∈ Word ℝ
2 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
3 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
4 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
5 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
62, 3, 4, 5signsvvfval 30453 . . 3 (∅ ∈ Word ℝ → (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
71, 6ax-mp 5 . 2 (𝑉‘∅) = Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
8 hash0 13105 . . . . 5 (#‘∅) = 0
98oveq2i 6621 . . . 4 (1..^(#‘∅)) = (1..^0)
10 0le1 10502 . . . . 5 0 ≤ 1
11 1z 11358 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 0z 11339 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
13 fzon 12437 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅))
1411, 12, 13mp2an 707 . . . . 5 (0 ≤ 1 ↔ (1..^0) = ∅)
1510, 14mpbi 220 . . . 4 (1..^0) = ∅
169, 15eqtri 2643 . . 3 (1..^(#‘∅)) = ∅
1716sumeq1i 14369 . 2 Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘∅))if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0)
18 sum0 14392 . 2 Σ𝑗 ∈ ∅ if(((𝑇‘∅)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘∅)‘(𝑗 − 1)), 1, 0) = 0
197, 17, 183eqtri 2647 1 (𝑉‘∅) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∅c0 3896  ifcif 4063  {cpr 4155  {ctp 4157  ⟨cop 4159   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↦ cmpt2 6612  ℝcr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   ≤ cle 10026   − cmin 10217  -cneg 10218  ℤcz 11328  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  #chash 13064  Word cword 13237  sgncsgn 13767  Σcsu 14357  ndxcnx 15785  Basecbs 15788  +gcplusg 15869   Σg cgsu 16029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-word 13245  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-sum 14358 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator