Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvfnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvfnn 30435
 Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (#‘𝐸)
signsvf.b 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvfnn ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn
StepHypRef Expression
1 signsvf.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3 signsvf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
41eldifad 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ Word ℝ)
5 wrdf 13244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸:(0..^(#‘𝐸))⟶ℝ)
7 signsvf.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = (#‘𝐸)
87oveq1i 6615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 − 1) = ((#‘𝐸) − 1)
9 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
101, 9sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11 lennncl 13259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (#‘𝐸) ∈ ℕ)
12 fzo0end 12498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐸) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
148, 13syl5eqel 2708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
156, 14ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1615recnd 10013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173, 16syl5eqel 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 signsvf.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2019recnd 10013 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
2322lt0ne0d 10538 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
2418, 21, 23mulne0bad 10627 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
253, 24syl5eqner 2871 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26 signsv.p . . . . . . . . . 10 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27 signsv.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
28 signsv.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
29 signsv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
3026, 27, 28, 29, 7signsvtn0 30419 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
313fveq2i 6153 . . . . . . . . 9 (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
3230, 31syl6eqr 2678 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
332, 25, 32syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
3433fveq2d 6154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
353, 15syl5eqel 2708 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736rexrd 10034 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 sgnsgn 30383 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
4034, 39eqtrd 2660 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
4140oveq2d 6621 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
4220, 17mulcomd 10006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4342breq1d 4628 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44 sgnmulsgn 30384 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4519, 35, 44syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4643, 45bitr3d 270 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4746biimpa 501 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
4841, 47eqbrtrd 4640 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
4919adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 sgnclre 30374 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5136, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5233, 51eqeltrd 2704 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53 sgnmulsgn 30384 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5449, 52, 53syl2anc 692 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5548, 54mpbird 247 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56 signsvf.0 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57 signsvf.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58 eqid 2626 . . 3 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
5926, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58signsvtn 30433 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
6055, 59syldan 487 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   ∖ cdif 3557  ∅c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  ⟨cop 4159   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605   ↦ cmpt2 6607  ℂcc 9879  ℝcr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886  ℝ*cxr 10018   < clt 10019   − cmin 10211  -cneg 10212  ℕcn 10965  ...cfz 12265  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228  sgncsgn 13755  Σcsu 14345  ndxcnx 15773  Basecbs 15776  +gcplusg 15857   Σg cgsu 16017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-word 13233  df-lsw 13234  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-sgn 13756  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mulg 17457  df-cntz 17666 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator