Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtn 30966
Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvt.b 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtn ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtn
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
21fveq2d 6352 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3 signsvf.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4 signsvf.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5 signsvf.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . . 7 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . . 7 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
8 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
9 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 30964 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2790 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 signsvt.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
15 signsvf.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (♯‘𝐸)
1615oveq1i 6819 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
1716fveq2i 6351 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
1814, 17eqtri 2778 . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1))
1918oveq1i 6819 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
203adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2120eldifad 3723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
226, 7, 8, 9signstf 30948 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸) ∈ Word ℝ)
23 wrdf 13492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑇𝐸):(0..^(♯‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
25 eldifsn 4458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
263, 25sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
2726adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
28 lennncl 13507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
29 fzo0end 12750 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
316, 7, 8, 9signstlen 30949 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (♯‘(𝑇𝐸)) = (♯‘𝐸))
3332oveq2d 6825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (0..^(♯‘(𝑇𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸)))
3430, 33eleqtrrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝑇𝐸))))
3524, 34ffvelrnd 6519 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
3618, 35syl5eqel 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736recnd 10256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
385adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3938recnd 10256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4037, 39mulcomd 10249 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
41 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
4240, 41eqbrtrd 4822 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
4319, 42syl5eqbrr 4836 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
4443iftrued 4234 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 1)
4544oveq2d 6825 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((♯‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐸) + 1))
4613, 45eqtr2d 2791 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐸) + 1) = (𝑉𝐹))
476, 7, 8, 9signsvvf 30961 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
4847a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
491adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
5038s1cld 13569 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ)
51 ccatcl 13542 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
5221, 50, 51syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word ℝ)
5349, 52eqeltrd 2835 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
5448, 53ffvelrnd 6519 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℕ0)
5554nn0cnd 11541 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐹) ∈ ℂ)
5648, 21ffvelrnd 6519 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐸) ∈ ℕ0)
5756nn0cnd 11541 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝑉𝐸) ∈ ℂ)
58 1cnd 10244 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 1 ∈ ℂ)
5955, 57, 58subaddd 10598 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1 ↔ ((𝑉𝐸) + 1) = (𝑉𝐹)))
6046, 59mpbird 247 1 ((𝜑 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  cdif 3708  c0 4054  ifcif 4226  {csn 4317  {cpr 4319  {ctp 4321  cop 4323   class class class wbr 4800  cmpt 4877  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  cmpt2 6811  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129   < clt 10262  cmin 10454  -cneg 10455  cn 11208  0cn0 11480  ...cfz 12515  ..^cfzo 12655  chash 13307  Word cword 13473   ++ cconcat 13475  ⟨“cs1 13476  sgncsgn 14021  Σcsu 14611  ndxcnx 16052  Basecbs 16055  +gcplusg 16139   Σg cgsu 16299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-word 13481  df-lsw 13482  df-concat 13483  df-s1 13484  df-substr 13485  df-sgn 14022  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-plusg 16152  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-mulg 17738  df-cntz 17946
This theorem is referenced by:  signsvfnn  30968
  Copyright terms: Public domain W3C validator