Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtn0 30424
Description: If the last letter is non zero, then this is the zero-skipping sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvtn0.1 𝑁 = (#‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
signsvtn0 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtn0
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4287 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
21biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
32adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
43simpld 475 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
54adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6 wrdf 13249 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ)
8 lennncl 13264 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
109adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
11 lbfzo0 12448 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
1210, 11sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
137, 12ffvelrnd 6316 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
14 signsv.p . . . . . . 7 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
15 signsv.w . . . . . . 7 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
16 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
17 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
1814, 15, 16, 17signstf0 30422 . . . . . 6 ((𝐹‘0) ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
1913, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
20 signsvtn0.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (#‘𝐹)
21 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
2220, 21syl5eqr 2669 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (#‘𝐹) = 1)
23 eqs1 13331 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (#‘𝐹) = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
245, 22, 23syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
2524fveq2d 6152 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩))
26 oveq1 6611 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
27 1m1e0 11033 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2826, 27syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2928fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘0))
3029fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(𝐹‘0)))
3130s1eqd 13320 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
3221, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
3319, 25, 323eqtr4d 2665 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇𝐹) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩)
3421, 28syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) = 0)
3533, 34fveq12d 6154 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0))
364, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ)
3720oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((#‘𝐹) − 1)
38 fzo0end 12501 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
393, 8, 383syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
4037, 39syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
4136, 40ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
4241rexrd 10033 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ*)
43 sgncl 30378 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
4544adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
46 s1fv 13329 . . . 4 ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1} → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
4745, 46syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
4835, 47eqtrd 2655 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
49 fzossfz 12429 . . . . . . . . . 10 (0..^(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
5049, 39sseldi 3581 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0...(#‘𝐹)))
51 swrd0val 13359 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) = (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))
524, 50, 51syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) = (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))
5352oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩))
54 swrdccatwrd 13406 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
5554eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 = ((𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩))
563, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩))
5737oveq2i 6615 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((#‘𝐹) − 1))
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((#‘𝐹) − 1)))
5958reseq2d 5356 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝐹) − 1))
6160fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
62 lsw 13290 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ( lastS ‘𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
6362adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ( lastS ‘𝐹) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
6461, 63eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = ( lastS ‘𝐹))
6564s1eqd 13320 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩)
6659, 65oveq12d 6622 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“( lastS ‘𝐹)”⟩))
6753, 56, 663eqtr4d 2665 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
6867fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
69 ffn 6002 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶ℝ → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
704, 6, 693syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 = (#‘𝐹))
7271oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^𝑁) = (0..^(#‘𝐹)))
7372fneq2d 5940 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 Fn (0..^𝑁) ↔ 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹))))
7470, 73mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
7520, 9syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7675nnnn0d 11295 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
77 nn0z 11344 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
78 fzossrbm1 12438 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
80 fnssres 5962 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn (0..^𝑁) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
8174, 79, 80syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
82 hashfn 13104 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (#‘(0..^(𝑁 − 1))))
8381, 82syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (#‘(0..^(𝑁 − 1))))
84 nnm1nn0 11278 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
85 hashfzo0 13157 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
8675, 84, 853syl 18 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (#‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
8783, 86eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
8887eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))
8968, 88fveq12d 6154 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
9089adantr 481 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
9152, 59eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))
92 swrdcl 13357 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
934, 92syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 substr ⟨0, ((#‘𝐹) − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
9491, 93eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
9594adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
9687adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
9775adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
9897nncnd 10980 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
99 1cnd 10000 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
100 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ≠ 1)
10198, 99, 100subne0d 10345 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
10296, 101eqnetrd 2857 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0)
103 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (#‘∅))
104 hash0 13098 . . . . . . . . 9 (#‘∅) = 0
105103, 104syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = 0)
106105necon3i 2822 . . . . . . 7 ((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
10895, 107jca 554 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
109 eldifsn 4287 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
110108, 109sylibr 224 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
11141adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
11214, 15, 16, 17signstfvn 30423 . . . 4 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
113110, 111, 112syl2anc 692 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
114 lennncl 13264 . . . . . 6 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ)
115 fzo0end 12501 . . . . . 6 ((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ → ((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
116108, 114, 1153syl 18 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
11714, 15, 16, 17signstcl 30419 . . . . 5 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
11895, 116, 117syl2anc 692 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
11944adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
120 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
121 sgn0bi 30387 . . . . . . . 8 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0))
122121necon3bid 2834 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
123122biimpar 502 . . . . . 6 (((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
12442, 120, 123syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
125124adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
12614, 15signswlid 30413 . . . 4 (((((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1} ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1}) ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
127118, 119, 125, 126syl21anc 1322 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((#‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
12890, 113, 1273eqtrd 2659 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
12948, 128pm2.61dane 2877 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148  {cpr 4150  {ctp 4152  cop 4154  cmpt 4673  cres 5076   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  *cxr 10017  cmin 10210  -cneg 10211  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233   substr csubstr 13234  sgncsgn 13760  Σcsu 14350  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862   Σg cgsu 16022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-sgn 13761  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mulg 17462  df-cntz 17671
This theorem is referenced by:  signsvfpn  30439  signsvfnn  30440
  Copyright terms: Public domain W3C validator