Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtp 30452
 Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (#‘𝐸)
signsvt.b 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvtp ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑏,𝑛,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtp
StepHypRef Expression
1 signsvf.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
21fveq2d 6154 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐹) = (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)))
3 signsvf.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
4 signsvf.0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
5 signsvf.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 signsv.p . . . . . 6 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
7 signsv.w . . . . . 6 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
8 signsv.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
9 signsv.v . . . . . 6 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
106, 7, 8, 9signsvfn 30451 . . . . 5 (((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘0) ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
113, 4, 5, 10syl21anc 1322 . . . 4 (𝜑 → (𝑉‘(𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
122, 11eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
1312adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)))
14 0red 9988 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
153adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
1615eldifad 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐸 ∈ Word ℝ)
176, 7, 8, 9signstf 30435 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸) ∈ Word ℝ)
18 wrdf 13252 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐸) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐸):(0..^(#‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑇𝐸):(0..^(#‘(𝑇𝐸)))⟶ℝ)
20 eldifsn 4289 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
213, 20sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
23 lennncl 13267 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (#‘𝐸) ∈ ℕ)
24 fzo0end 12504 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐸) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐸)))
266, 7, 8, 9signstlen 30436 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word ℝ → (#‘(𝑇𝐸)) = (#‘𝐸))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (#‘(𝑇𝐸)) = (#‘𝐸))
2827oveq2d 6623 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (0..^(#‘(𝑇𝐸))) = (0..^(#‘𝐸)))
2925, 28eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((#‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑇𝐸))))
3019, 29ffvelrnd 6318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) ∈ ℝ)
315adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31remulcld 10017 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
33 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
34 signsvt.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
35 signsvf.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (#‘𝐸)
3635oveq1i 6617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 − 1) = ((#‘𝐸) − 1)
3736fveq2i 6153 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1))
3834, 37eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 𝐵 = ((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1))
3938, 30syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4131recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4240, 41mulcomd 10008 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐵))
4333, 42breqtrrd 4643 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
4438oveq1i 6617 . . . . . 6 (𝐵 · 𝐴) = (((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴)
4543, 44syl6breq 4656 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 0 < (((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴))
4614, 32, 45ltnsymd 10133 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ¬ (((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0)
4746iffalsed 4071 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0) = 0)
4847oveq2d 6623 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + if((((𝑇𝐸)‘((#‘𝐸) − 1)) · 𝐴) < 0, 1, 0)) = ((𝑉𝐸) + 0))
496, 7, 8, 9signsvvf 30448 . . . . . 6 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0
5049a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → 𝑉:Word ℝ⟶ℕ0)
5150, 16ffvelrnd 6318 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 11300 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐸) ∈ ℂ)
5352addid1d 10183 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → ((𝑉𝐸) + 0) = (𝑉𝐸))
5413, 48, 533eqtrd 2659 1 ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)) → (𝑉𝐹) = (𝑉𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3553  ∅c0 3893  ifcif 4060  {csn 4150  {cpr 4152  {ctp 4154  ⟨cop 4156   class class class wbr 4615   ↦ cmpt 4675  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ↦ cmpt2 6609  ℝcr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021   − cmin 10213  -cneg 10214  ℕcn 10967  ℕ0cn0 11239  ...cfz 12271  ..^cfzo 12409  #chash 13060  Word cword 13233   ++ cconcat 13235  ⟨“cs1 13236  sgncsgn 13763  Σcsu 14353  ndxcnx 15781  Basecbs 15784  +gcplusg 15865   Σg cgsu 16025 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-xnn0 11311  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-word 13241  df-lsw 13242  df-concat 13243  df-s1 13244  df-substr 13245  df-sgn 13764  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mulg 17465  df-cntz 17674 This theorem is referenced by:  signsvfpn  30454
 Copyright terms: Public domain W3C validator