Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsw0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsw0g 30413
Description: The neutral element of 𝑊. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
Assertion
Ref Expression
signsw0g 0 = (0g𝑊)
Distinct variable group:   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsw0g
Dummy variables 𝑢 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9978 . . . . 5 0 ∈ V
21tpid2 4274 . . . 4 0 ∈ {-1, 0, 1}
3 signsw.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
43signsw0glem 30410 . . . 4 𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)
52, 4pm3.2i 471 . . 3 (0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢))
6 signsw.w . . . . . 6 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
73, 6signswbase 30411 . . . . 5 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
8 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
93, 6signswplusg 30412 . . . . 5 = (+g𝑊)
10 oveq1 6611 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 0 → (𝑒 𝑢) = (0 𝑢))
1110eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 0 → ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ↔ (0 𝑢) = 𝑢))
12 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 0 → (𝑢 𝑒) = (𝑢 0))
1312eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 0 → ((𝑢 𝑒) = 𝑢 ↔ (𝑢 0) = 𝑢))
1411, 13anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 0 → (((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢) ↔ ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)))
1514ralbidv 2980 . . . . . . . 8 (𝑒 = 0 → (∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)))
1615rspcev 3295 . . . . . . 7 ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)) → ∃𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢))
172, 4, 16mp2an 707 . . . . . 6 𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢)
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∃𝑒 ∈ {-1, 0, 1}∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((𝑒 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 𝑒) = 𝑢))
197, 8, 9, 18ismgmid 17185 . . . 4 (⊤ → ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)) ↔ (0g𝑊) = 0))
2019trud 1490 . . 3 ((0 ∈ {-1, 0, 1} ∧ ∀𝑢 ∈ {-1, 0, 1} ((0 𝑢) = 𝑢 ∧ (𝑢 0) = 𝑢)) ↔ (0g𝑊) = 0)
215, 20mpbi 220 . 2 (0g𝑊) = 0
2221eqcomi 2630 1 0 = (0g𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  ifcif 4058  {cpr 4150  {ctp 4152  cop 4154  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  0cc0 9880  1c1 9881  -cneg 10211  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-0g 16023
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator