Theorem signswlid 30764

Description: The zero-skipping operation keeps nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswlid	⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2	1	signspval 30757	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
4		simpr 476	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ≠ 0)
5	4	neneqd 2828	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ¬ 𝑌 = 0)
6	5	iffalsed 4130	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
7	3, 6	eqtrd 2685	1 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ifcif 4119  {cpr 4212  {ctp 4214  ⟨cop 4216  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975  -cneg 10305  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  +_gcplusg 15988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695

This theorem is referenced by:  signsvtn0  30775