MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sii 28558
Description: Schwarz inequality. Part of Lemma 3-2.1(a) of [Kreyszig] p. 137. This is also called the Cauchy-Schwarz inequality by some authors and Bunjakovaskij-Cauchy-Schwarz inequality by others. See also theorems bcseqi 28824, bcsiALT 28883, bcsiHIL 28884, csbren 23929. This is Metamath 100 proof #78. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sii.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
sii.6 𝑁 = (normCV𝑈)
sii.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
sii.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
sii ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem sii
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7168 . . 3 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)))
2 fveq2 6663 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → (𝑁𝐴) = (𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))))
32oveq1d 7160 . . 3 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵)))
41, 3breq12d 5070 . 2 (𝐴 = if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) → ((abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵))))
5 oveq2 7153 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → (if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵) = (if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))
65fveq2d 6667 . . 3 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)) = (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))))
7 fveq2 6663 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → (𝑁𝐵) = (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))
87oveq2d 7161 . . 3 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵)) = ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))))
96, 8breq12d 5070 . 2 (𝐵 = if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) → ((abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁𝐵)) ↔ (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))))
10 sii.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
11 sii.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
12 sii.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
13 sii.9 . . 3 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14 eqid 2818 . . . 4 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
1510, 14, 13elimph 28524 . . 3 if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈)) ∈ 𝑋
1610, 14, 13elimph 28524 . . 3 if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)) ∈ 𝑋
1710, 11, 12, 13, 15, 16siii 28557 . 2 (abs‘(if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))𝑃if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈)))) ≤ ((𝑁‘if(𝐴𝑋, 𝐴, (0vec𝑈))) · (𝑁‘if(𝐵𝑋, 𝐵, (0vec𝑈))))
184, 9, 17dedth2h 4520 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘(𝐴𝑃𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   · cmul 10530  cle 10664  abscabs 14581  BaseSetcba 28290  0veccn0v 28292  normCVcnmcv 28294  ·𝑖OLDcdip 28404  CPreHilOLDccphlo 28516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-t1 21850  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ph 28517
This theorem is referenced by:  ipblnfi  28559  htthlem  28621
  Copyright terms: Public domain W3C validator