MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01gt0 14705
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 9942 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12063 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 703 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1068 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 11157 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 12694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 10941 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ne0 10962 . . . . . 6 3 ≠ 0
11 redivcl 10593 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1407 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 11243 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
15 expgt0 12710 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1403 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 1073 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 205 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 10399 . . . . . . . . 9 0 < 1
202, 19pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 10961 . . . . . . . . 9 0 < 3
229, 21pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 11043 . . . . . . . . 9 1 < 3
24 ltdiv2 10758 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 221 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1405 . . . . . . 7 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2726ex 448 . . . . . 6 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → (0 < (𝐴↑3) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
288, 18, 27sylc 62 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
298recnd 9924 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
3029div1d 10642 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3128, 30breqtrd 4603 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
32 1nn0 11155 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
34 1le3 11091 . . . . . . . 8 1 ≤ 3
35 1z 11240 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
3635eluz1i 11527 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
3714, 34, 36mpbir2an 956 . . . . . . 7 3 ∈ (ℤ‘1)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ‘1))
394simp2bi 1069 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
40 0re 9896 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
41 ltle 9977 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4240, 5, 41sylancr 693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4339, 42mpd 15 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
444simp3bi 1070 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
455, 33, 38, 43, 44leexp2rd 12859 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
465recnd 9924 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4746exp1d 12820 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
4845, 47breqtrd 4603 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
4913, 8, 5, 31, 48ltletrd 10048 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
5013, 5posdifd 10463 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
5149, 50mpbid 220 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
52 sin01bnd 14700 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
5352simpld 473 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
545, 13resubcld 10309 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
555resincld 14658 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
56 lttr 9965 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5740, 56mp3an1 1402 . . 3 (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5854, 55, 57syl2anc 690 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5951, 53, 58mp2and 710 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  3c3 10918  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  (,]cioc 12003  cexp 12677  sincsin 14579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585
This theorem is referenced by:  sin02gt0  14707  sincos1sgn  14708  sincos4thpi  23986
  Copyright terms: Public domain W3C validator