Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01gt0 14964
 Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12274 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1096 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 11348 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 12917 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 695 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 11132 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ne0 11153 . . . . . 6 3 ≠ 0
11 redivcl 10782 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1456 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 11448 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
15 expgt0 12933 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1452 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 207 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
202, 19pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 11152 . . . . . . . . 9 0 < 3
229, 21pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 11234 . . . . . . . . 9 1 < 3
24 ltdiv2 10947 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 223 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1454 . . . . . . 7 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2726ex 449 . . . . . 6 ((𝐴↑3) ∈ ℝ → (0 < (𝐴↑3) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
288, 18, 27sylc 65 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
298recnd 10106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
3029div1d 10831 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3128, 30breqtrd 4711 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
32 1nn0 11346 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
34 1le3 11282 . . . . . . . 8 1 ≤ 3
35 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
3635eluz1i 11733 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
3714, 34, 36mpbir2an 975 . . . . . . 7 3 ∈ (ℤ‘1)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ‘1))
394simp2bi 1097 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
40 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
41 ltle 10164 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4240, 5, 41sylancr 696 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4339, 42mpd 15 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
444simp3bi 1098 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
455, 33, 38, 43, 44leexp2rd 13082 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
465recnd 10106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4746exp1d 13043 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
4845, 47breqtrd 4711 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
4913, 8, 5, 31, 48ltletrd 10235 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
5013, 5posdifd 10652 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
5149, 50mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
52 sin01bnd 14959 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
5352simpld 474 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
545, 13resubcld 10496 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
555resincld 14917 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
56 lttr 10152 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5740, 56mp3an1 1451 . . 3 (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5854, 55, 57syl2anc 694 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
5951, 53, 58mp2and 715 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  (,]cioc 12214  ↑cexp 12900  sincsin 14838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844 This theorem is referenced by:  sin02gt0  14966  sincos1sgn  14967  sincos4thpi  24310
 Copyright terms: Public domain W3C validator