MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinbnd 14692
Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sinbnd (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))

Proof of Theorem sinbnd
StepHypRef Expression
1 recoscl 14653 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
21sqge0d 12850 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((cos‘𝐴)↑2))
3 resincl 14652 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
43resqcld 12849 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
51resqcld 12849 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
64, 5addge01d 10461 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴)↑2) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))))
72, 6mpbid 220 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
8 recn 9879 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9 sincossq 14688 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11 sq1 12772 . . . . 5 (1↑2) = 1
1210, 11syl6eqr 2658 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (1↑2))
137, 12breqtrd 4600 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2))
14 1re 9892 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 0le1 10397 . . . . . 6 0 ≤ 1
16 lenegsq 13851 . . . . . 6 (((sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(sin‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
1714, 15, 16mp3an23 1407 . . . . 5 ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(sin‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
18 lenegcon1 10378 . . . . . . 7 (((sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-(sin‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (sin‘𝐴)))
1914, 18mpan2 702 . . . . . 6 ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (-(sin‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (sin‘𝐴)))
2019anbi2d 735 . . . . 5 ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(sin‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴))))
2117, 20bitr3d 268 . . . 4 ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴))))
223, 21syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴))))
2313, 22mpbid 220 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴)))
2423ancomd 465 1 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792  cle 9928  -cneg 10115  2c2 10914  cexp 12674  sincsin 14576  cosccos 14577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-ico 12005  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-bc 12904  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-ef 14580  df-sin 14582  df-cos 14583
This theorem is referenced by:  sinbnd2  14694  sinltx  14701  abssinbd  38250  wallispilem1  38759
  Copyright terms: Public domain W3C validator