MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincl 14776
Description: Closure of the sine function. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sincl (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sincl
StepHypRef Expression
1 sinf 14774 . 2 sin:ℂ⟶ℂ
21ffvelrni 6315 1 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1992  cfv 5850  cc 9879  sincsin 14714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720
This theorem is referenced by:  tancl  14779  sincld  14780  tanneg  14798  sin0  14799  efmival  14803  sinadd  14814  cosadd  14815  tanaddlem  14816  sinsub  14818  cossub  14819  subsin  14821  sinmul  14822  cosmul  14823  addcos  14824  subcos  14825  sincossq  14826  sin2t  14827  cos2t  14828  cos2tsin  14829  demoivreALT  14851  sinhalfpilem  24114  sinmpi  24138  cosmpi  24139  sinppi  24140  cosppi  24141  efimpi  24142  sinhalfpip  24143  sinhalfpim  24144  coshalfpip  24145  coshalfpim  24146  sincos6thpi  24166  abssinper  24169  asinsin  24514  atandmtan  24542  atantan  24545  sin2h  33017  tan2h  33019  dvtan  33078  dvcosax  39434  itgsinexplem1  39463  itgsinexp  39464  csccl  41759  cotcl  41760  reccsc  41765  reccot  41766  rectan  41767  onetansqsecsq  41769  cotsqcscsq  41770
  Copyright terms: Public domain W3C validator