MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhalfpilem 24260
Description: Lemma for sinhalfpi 24265 and coshalfpi 24266. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 10588 . . . . . 6 0 < 1
2 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42, 3ltnsymi 10194 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
6 lt0neg1 10572 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
85, 7mtbi 311 . . . 4 ¬ 0 < -1
9 pire 24255 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
109rehalfcli 11319 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
11 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
12 pipos 24257 . . . . . . . 8 0 < π
13 2pos 11150 . . . . . . . 8 0 < 2
149, 11, 12, 13divgt0ii 10979 . . . . . . 7 0 < (π / 2)
15 4re 11135 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
16 pigt2lt4 24253 . . . . . . . . . 10 (2 < π ∧ π < 4)
1716simpri 477 . . . . . . . . 9 π < 4
189, 15, 17ltleii 10198 . . . . . . . 8 π ≤ 4
1911, 13pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20 ledivmul 10937 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
219, 11, 19, 20mp3an 1464 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22 2t2e4 11215 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
2322breq2i 4693 . . . . . . . . 9 (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
2421, 23bitr2i 265 . . . . . . . 8 (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
2518, 24mpbi 220 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ 2
26 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
27 elioc2 12274 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
2826, 11, 27mp2an 708 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
2910, 14, 25, 28mpbir3an 1263 . . . . . 6 (π / 2) ∈ (0(,]2)
30 sin02gt0 14966 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 2))
32 breq2 4689 . . . . 5 ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
3331, 32mpbii 223 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
348, 33mto 188 . . 3 ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35 sq1 12998 . . . . . 6 (1↑2) = 1
36 resincl 14914 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
3710, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
3837, 31gt0ne0ii 10602 . . . . . . . . . . . 12 (sin‘(π / 2)) ≠ 0
3938neii 2825 . . . . . . . . . . 11 ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4140neii 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 = 0
429recni 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
4442, 43, 40divcan2i 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · (π / 2)) = π
4544fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
4610recni 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℂ
47 sin2t 14951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
4945, 48eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50 sinpi 24254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = 0
5149, 50eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52 sincl 14900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5346, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54 coscl 14901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
5653, 55mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
5743, 56mul0ori 10713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
5851, 57mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
5941, 58mtpor 1735 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
6053, 55mul0ori 10713 . . . . . . . . . . . 12 (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
6159, 60mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
6239, 61mtpor 1735 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 2)) = 0
6362oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64 sq0 12995 . . . . . . . . 9 (0↑2) = 0
6563, 64eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
6665oveq2i 6701 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67 sincossq 14950 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
6846, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
6966, 68eqtr3i 2675 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
7053sqcli 12984 . . . . . . 7 ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
7170addid1i 10261 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
7235, 69, 713eqtr2ri 2680 . . . . 5 ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7453, 73sqeqori 13016 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
7572, 74mpbi 220 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
7675ori 389 . . 3 (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
7734, 76mt3 192 . 2 (sin‘(π / 2)) = 1
7877, 62pm3.2i 470 1 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  4c4 11110  (,]cioc 12214  cexp 12900  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  24265  coshalfpi  24266
  Copyright terms: Public domain W3C validator