MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhalfpilem 24976
Description: Lemma for sinhalfpi 24981 and coshalfpi 24982. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 0lt1 11150 . . . . . 6 0 < 1
2 0re 10631 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 10629 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42, 3ltnsymi 10747 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
6 lt0neg1 11134 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < -1))
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 ↔ 0 < -1)
85, 7mtbi 323 . . . 4 ¬ 0 < -1
9 pire 24971 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
109rehalfcli 11874 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
11 2re 11699 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
12 pipos 24973 . . . . . . . 8 0 < π
13 2pos 11728 . . . . . . . 8 0 < 2
149, 11, 12, 13divgt0ii 11545 . . . . . . 7 0 < (π / 2)
15 4re 11709 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
16 pigt2lt4 24969 . . . . . . . . . 10 (2 < π ∧ π < 4)
1716simpri 486 . . . . . . . . 9 π < 4
189, 15, 17ltleii 10751 . . . . . . . 8 π ≤ 4
1911, 13pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
20 ledivmul 11504 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
219, 11, 19, 20mp3an 1452 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
22 2t2e4 11789 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
2322breq2i 5065 . . . . . . . . 9 (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
2421, 23bitr2i 277 . . . . . . . 8 (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
2518, 24mpbi 231 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ 2
26 0xr 10676 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
27 elioc2 12787 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
2826, 11, 27mp2an 688 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
2910, 14, 25, 28mpbir3an 1333 . . . . . 6 (π / 2) ∈ (0(,]2)
30 sin02gt0 15533 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
3129, 30ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 2))
32 breq2 5061 . . . . 5 ((sin‘(π / 2)) = -1 → (0 < (sin‘(π / 2)) ↔ 0 < -1))
3331, 32mpbii 234 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = -1 → 0 < -1)
348, 33mto 198 . . 3 ¬ (sin‘(π / 2)) = -1
35 sq1 13546 . . . . . 6 (1↑2) = 1
36 resincl 15481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
3710, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
3837, 31gt0ne0ii 11164 . . . . . . . . . . . 12 (sin‘(π / 2)) ≠ 0
3938neii 3015 . . . . . . . . . . 11 ¬ (sin‘(π / 2)) = 0
40 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4140neii 3015 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 = 0
429recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℂ
43 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
4442, 43, 40divcan2i 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · (π / 2)) = π
4544fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
4610recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℂ
47 sin2t 15518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
4945, 48eqtr3i 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
50 sinpi 24970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘π) = 0
5149, 50eqtr3i 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
52 sincl 15467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5346, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
54 coscl 15468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
5546, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
5653, 55mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
5743, 56mul0ori 11276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0 ↔ (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0))
5851, 57mpbi 231 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 0 ∨ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
5941, 58mtpor 1762 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
6053, 55mul0ori 11276 . . . . . . . . . . . 12 (((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0 ↔ ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0))
6159, 60mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 2)) = 0 ∨ (cos‘(π / 2)) = 0)
6239, 61mtpor 1762 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 2)) = 0
6362oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
64 sq0 13543 . . . . . . . . 9 (0↑2) = 0
6563, 64eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
6665oveq2i 7156 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
67 sincossq 15517 . . . . . . . 8 ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
6846, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
6966, 68eqtr3i 2843 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
7053sqcli 13532 . . . . . . 7 ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
7170addid1i 10815 . . . . . 6 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
7235, 69, 713eqtr2ri 2848 . . . . 5 ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
73 ax-1cn 10583 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7453, 73sqeqori 13564 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1))
7572, 74mpbi 231 . . . 4 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∨ (sin‘(π / 2)) = -1)
7675ori 855 . . 3 (¬ (sin‘(π / 2)) = 1 → (sin‘(π / 2)) = -1)
7734, 76mt3 202 . 2 (sin‘(π / 2)) = 1
7877, 62pm3.2i 471 1 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  4c4 11682  (,]cioc 12727  cexp 13417  sincsin 15405  cosccos 15406  πcpi 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  24981  coshalfpi  24982
  Copyright terms: Public domain W3C validator