Users' Mathboxes Mathbox for David A. Wheeler < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinhpcosh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhpcosh 41774
Description: Prove that (sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴) = (exp‘𝐴) using the conventional hyperbolic trigonometric functions. (Contributed by David A. Wheeler, 27-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhpcosh (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem sinhpcosh
StepHypRef Expression
1 sinhval-named 41770 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = ((sin‘(i · 𝐴)) / i))
2 sinhval 14809 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
31, 2eqtrd 2655 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sinh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4 coshval-named 41771 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (cos‘(i · 𝐴)))
5 coshval 14810 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(i · 𝐴)) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
64, 5eqtrd 2655 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (cosh‘𝐴) = (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2))
73, 6oveq12d 6622 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
8 2cn 11035 . . . 4 2 ∈ ℂ
9 2ne0 11057 . . . 4 2 ≠ 0
10 efcl 14738 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
11 negcl 10225 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
12 efcl 14738 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
1410, 13addcld 10003 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
1510, 13subcld 10336 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
16 divdir 10654 . . . . . . 7 ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
1715, 16syl3an1 1356 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
1814, 17syl3an2 1357 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
19183anidm12 1380 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
208, 9, 19mpanr12 720 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) + (((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴)) / 2)))
21102timesd 11219 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (exp‘𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
2210, 13, 10nppcand 10361 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = ((exp‘𝐴) + (exp‘𝐴)))
2315, 10, 13addassd 10006 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + (exp‘𝐴)) + (exp‘-𝐴)) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))))
2421, 22, 233eqtr2rd 2662 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) = (2 · (exp‘𝐴)))
2524oveq1d 6619 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) + ((exp‘𝐴) + (exp‘-𝐴))) / 2) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
267, 20, 253eqtr2d 2661 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = ((2 · (exp‘𝐴)) / 2))
278a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
289a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
2910, 27, 28divcan3d 10750 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (exp‘𝐴)) / 2) = (exp‘𝐴))
3026, 29eqtrd 2655 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sinh‘𝐴) + (cosh‘𝐴)) = (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  2c2 11014  expce 14717  sincsin 14719  cosccos 14720  sinhcsinh 41764  coshccosh 41765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-sinh 41767  df-cosh 41768
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator