MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 14672
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 10508 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
21oveq1i 6537 . . . . . . . 8 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3 ax-icn 9852 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 mulass 9881 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1405 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6 mulm1 10323 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2667 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
93, 3mulneg1i 10328 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
101negeqi 10126 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
11 negneg1e1 10978 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
139, 12eqtri 2631 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
1413oveq1i 6537 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15 negicn 10134 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
16 mulass 9881 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1405 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18 mulid2 9895 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2667 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
218, 20oveq12d 6545 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
2221oveq1d 6542 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23 mulcl 9877 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
243, 23mpan 701 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 sinval 14640 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27 irec 12784 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 10126 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 10203 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2631 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 6537 . . . . 5 (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32 ine0 10317 . . . . . . . 8 i ≠ 0
333, 32reccli 10607 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
34 efcl 14601 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35 negcl 10133 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36 efcl 14601 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 10244 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3938halfcld 11127 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40 mulneg12 10320 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 10943 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43 2ne0 10963 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
4538, 42, 44divnegd 10666 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 10260 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
4746oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4845, 47eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4948oveq2d 6543 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5037, 34subcld 10244 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
5150halfcld 11127 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
5451, 52, 53divrec2d 10657 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 10684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2649 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5741, 56eqtrd 2643 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5831, 57syl5eqr 2657 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2653 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 6542 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 10658 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2643 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794  ici 9795   · cmul 9798  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  2c2 10920  expce 14580  sincsin 14582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588
This theorem is referenced by:  resinhcl  14674  tanhlt1  14678  sinhpcosh  42263
  Copyright terms: Public domain W3C validator