MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 14928
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 10694 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
21oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3 ax-icn 10033 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 mulass 10062 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1454 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6 mulm1 10509 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2709 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
93, 3mulneg1i 10514 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
101negeqi 10312 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
11 negneg1e1 11166 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
139, 12eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
1413oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15 negicn 10320 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
16 mulass 10062 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1454 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18 mulid2 10076 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2709 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
218, 20oveq12d 6708 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
2221oveq1d 6705 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23 mulcl 10058 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
243, 23mpan 706 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 sinval 14896 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27 irec 13004 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 10312 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 10389 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2673 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 6700 . . . . 5 (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32 ine0 10503 . . . . . . . 8 i ≠ 0
333, 32reccli 10793 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
34 efcl 14857 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35 negcl 10319 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36 efcl 14857 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 10430 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3938halfcld 11315 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40 mulneg12 10506 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 11131 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43 2ne0 11151 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
4538, 42, 44divnegd 10852 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
4746oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4845, 47eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4948oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5037, 34subcld 10430 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
5150halfcld 11315 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
5451, 52, 53divrec2d 10843 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 10870 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2691 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5741, 56eqtrd 2685 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5831, 57syl5eqr 2699 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2695 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 6705 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 10844 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2685 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  expce 14836  sincsin 14838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844
This theorem is referenced by:  resinhcl  14930  tanhlt1  14934  sinhpcosh  42809
  Copyright terms: Public domain W3C validator