Theorem sinmulcos 42139

Description: Multiplication formula for sine and cosine. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sinmulcos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem sinmulcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sincld 15477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		cosf 15472	. . . . . . . 8 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → cos:ℂ⟶ℂ)
5	4	ffvelrnda 6845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
6	2, 5	mulcld 10655	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) ∈ ℂ)
7	1	coscld 15478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
8		sinf 15471	. . . . . . . 8 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → sin:ℂ⟶ℂ)
10	9	ffvelrnda 6845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘𝐵) ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 10655	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)) ∈ ℂ)
12	6, 11, 6	ppncand 11031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
13		sinadd 15511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 + 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
14		sinsub 15515	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − 𝐵)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))))
15	13, 14	oveq12d 7168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) = ((((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵))) + (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐵)))))
16	6	2timesd 11874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) = (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) + ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
17	12, 15, 16	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))))
18	17	oveq1d 7165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) / 2))
19		2cnd 11709	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
20		2ne0 11735	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
22	6, 19, 21	divcan3d 11415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵))) / 2) = ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)))
23	18, 22	eqtr2d 2857	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐵)) = (((sin‘(𝐴 + 𝐵)) + (sin‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11686  sincsin 15411  cosccos 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem2  42378